Номер 57, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением равностороннего треугольника $ABC$, точка $M_1$ — изображение некоторой точки $M$, принадлежащей треугольнику, но не лежащей на его сторонах (рис. 17). Постройте изображения перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на стороны $AC$ и $AB$.

Рис. 17

Для построения изображений перпендикуляров воспользуемся свойствами равностороннего треугольника и параллельного проектирования. В равностороннем треугольнике высота, опущенная на сторону, является также и медианой. При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Следовательно, середина отрезка проектируется в середину его изображения.

Построение изображения перпендикуляра из точки M на сторону AC

В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $BK$, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $AC$.

Пусть $MH$ - перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на сторону $AC$ ($H \in AC$). Так как и $MH$, и $BK$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, то они параллельны между собой: $MH \parallel BK$.

При параллельном проектировании параллельность прямых сохраняется. Это значит, что изображение $M_1H_1$ перпендикуляра $MH$ будет параллельно изображению $B_1K_1$ высоты $BK$. Изображением медианы $BK$ является медиана $B_1K_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Алгоритм построения:

1. Находим точку $K_1$ — середину отрезка $A_1C_1$.
2. Соединяем точки $B_1$ и $K_1$. Отрезок $B_1K_1$ является изображением высоты (и медианы) $BK$ треугольника $ABC$.
3. Через точку $M_1$ проводим прямую, параллельную отрезку $B_1K_1$.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1C_1$ и будет являться точкой $H_1$ — изображением основания перпендикуляра.

Ответ: Отрезок $M_1H_1$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AC$.

Построение изображения перпендикуляра из точки M на сторону AB

Рассуждаем аналогично. В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $CL$, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, является также и медианой. Точка $L$ является серединой стороны $AB$.

Пусть $MG$ - перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на сторону $AB$ ($G \in AB$). Так как $MG \perp AB$ и $CL \perp AB$, то $MG \parallel CL$.

Изображение $M_1G_1$ перпендикуляра $MG$ будет параллельно изображению $C_1L_1$ высоты $CL$. Изображением медианы $CL$ является медиана $C_1L_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Алгоритм построения:

1. Находим точку $L_1$ — середину отрезка $A_1B_1$.
2. Соединяем точки $C_1$ и $L_1$. Отрезок $C_1L_1$ является изображением высоты (и медианы) $CL$ треугольника $ABC$.
3. Через точку $M_1$ проводим прямую, параллельную отрезку $C_1L_1$.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1B_1$ и будет являться точкой $G_1$ — изображением основания перпендикуляра.

Ответ: Отрезок $M_1G_1$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AB$.