Номер 50, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. На рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $AD$
куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки
$M, K$ и $E$ (рис. 13). Постройте сечение куба плоскостью
$MKE$.

Рис. 13

Для построения сечения куба плоскостью MKE необходимо выполнить следующие шаги, используя аксиомы стереометрии и свойства параллельных плоскостей в пространстве.

1. Соединение точек, лежащих в одной грани

Сначала соединим точки, которые лежат в плоскостях одних и тех же граней куба.

• Точки M и K находятся на ребрах AA₁ и BB₁ соответственно. Оба этих ребра принадлежат передней грани ABB₁A₁. Следовательно, точки M и K лежат в плоскости этой грани. Соединяем их отрезком MK. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани ABB₁A₁.
• Точки M и E находятся на ребрах AA₁ и AD. Эти ребра принадлежат левой боковой грани ADD₁A₁. Соединяем точки M и E отрезком ME, который является следом секущей плоскости на грани ADD₁A₁.

2. Построение следа сечения на параллельной грани

Противоположные грани куба параллельны. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Воспользуемся этим свойством.

• Грань ADD₁A₁, на которой лежит отрезок ME, параллельна грани BCC₁B₁. Значит, секущая плоскость MKE пересечет грань BCC₁B₁ по прямой, параллельной ME.
• Через точку K, которая принадлежит грани BCC₁B₁, проведем прямую, параллельную отрезку ME. Эта прямая пересечет ребро BC в некоторой точке. Обозначим эту точку F.

3. Завершение построения сечения

Теперь у нас есть все вершины многоугольника, который является искомым сечением.

• Соединяем точку K и построенную точку F. Обе они лежат в плоскости грани BCC₁B₁, поэтому отрезок KF является стороной сечения.
• Соединяем точки F и E. Они обе лежат в плоскости нижнего основания ABCD. Отрезок FE — последняя, замыкающая сторона сечения.

В результате этих построений мы получили замкнутый четырехугольник MKFE. Все его вершины лежат на ребрах куба, а стороны — на гранях куба. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник MKFE, где точка F является точкой пересечения ребра BC с прямой, проходящей через точку K параллельно прямой ME.