Номер 46, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Из точки $M$, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$, а другой — в точках $A_2$ и $B_2$ соответственно, точка $A_1$ лежит между точками $M$ и $B_1$. Найдите отрезок $MB_1$, если $MA_1 = 9\text{ см}$, $B_1B_2 = 4\text{ см}$, $A_1A_2 = A_1B_1$.

Два луча, выходящие из точки $M$, и точки их пересечения с плоскостями $α$ и $β$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $α$ и $β$ по параллельным прямым $A_1A_2$ и $B_1B_2$ соответственно. Таким образом, $A_1A_2 \parallel B_1B_2$.

Рассмотрим треугольники $ΔMA_1A_2$ и $ΔMB_1B_2$. Они подобны по двум углам:

• $\angle M$ — общий угол.
• $\angle MA_1A_2 = \angle MB_1B_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1A_2$ и $B_1B_2$ и секущей $MB_1$.

Из подобия треугольников ($ΔMA_1A_2 \sim ΔMB_1B_2$) следует пропорциональность их сторон:

$\frac{MA_1}{MB_1} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2}$

Обозначим искомую длину отрезка $MB_1$ за $x$. По условию, точка $A_1$ лежит между точками $M$ и $B_1$, поэтому $MB_1 = MA_1 + A_1B_1$. Отсюда можно выразить длину отрезка $A_1B_1$:

$A_1B_1 = MB_1 - MA_1 = x - 9$

По условию также известно, что $A_1A_2 = A_1B_1$, следовательно, $A_1A_2 = x - 9$.

Теперь подставим все известные и выраженные значения в исходную пропорцию:

$\frac{9}{x} = \frac{x - 9}{4}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$9 \cdot 4 = x \cdot (x - 9)$

$36 = x^2 - 9x$

$x^2 - 9x - 36 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Таким образом, искомая длина отрезка $MB_1$ равна 12.

Ответ: 12 см.