Страница 10 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45.Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Через точку $O$, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$, а другая — в точках $A_2$ и $B_2$ соответственно. Найдите угол $\angle OA_1A_2$, если $\angle B_1OB_2 = 34^\circ$, $\angle OB_2B_1 = 78^\circ$.

Найдите угол OA₁A₂

Поскольку прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке O, они определяют единственную плоскость, назовем ее γ. Эта плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β. По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, прямая A₁A₂, по которой плоскость γ пересекает плоскость α, параллельна прямой B₁B₂, по которой плоскость γ пересекает плоскость β. Таким образом, $A₁A₂ \parallel B₁B₂$.

Рассмотрим треугольник $ΔOB₁B₂$. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Нам известны два угла этого треугольника по условию: $∠B₁OB₂ = 34°$ и $∠OB₂B₁ = 78°$. Найдем третий угол $∠OB₁B₂$:

$∠OB₁B₂ = 180° - (∠B₁OB₂ + ∠OB₂B₁) = 180° - (34° + 78°) = 180° - 112° = 68°$.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $A₁A₂$ и $B₁B₂$ и прямую $A₁B₁$ в качестве секущей. Углы $∠OA₁A₂$ (или $∠B₁A₁A₂$) и $∠OB₁B₂$ (или $∠A₁B₁B₂$) являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые $A₁A₂$ и $B₁B₂$ параллельны, эти углы равны.

$∠OA₁A₂ = ∠OB₁B₂$

Так как мы нашли, что $∠OB₁B₂ = 68°$, то и искомый угол $∠OA₁A₂$ также равен 68°.

$∠OA₁A₂ = 68°$.

Ответ: 68°.

46. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Из точки $M$, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$, а другой — в точках $A_2$ и $B_2$ соответственно, точка $A_1$ лежит между точками $M$ и $B_1$. Найдите отрезок $MB_1$, если $MA_1 = 9\text{ см}$, $B_1B_2 = 4\text{ см}$, $A_1A_2 = A_1B_1$.

Два луча, выходящие из точки $M$, и точки их пересечения с плоскостями $α$ и $β$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $α$ и $β$ по параллельным прямым $A_1A_2$ и $B_1B_2$ соответственно. Таким образом, $A_1A_2 \parallel B_1B_2$.

Рассмотрим треугольники $ΔMA_1A_2$ и $ΔMB_1B_2$. Они подобны по двум углам:

• $\angle M$ — общий угол.
• $\angle MA_1A_2 = \angle MB_1B_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1A_2$ и $B_1B_2$ и секущей $MB_1$.

Из подобия треугольников ($ΔMA_1A_2 \sim ΔMB_1B_2$) следует пропорциональность их сторон:

$\frac{MA_1}{MB_1} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2}$

Обозначим искомую длину отрезка $MB_1$ за $x$. По условию, точка $A_1$ лежит между точками $M$ и $B_1$, поэтому $MB_1 = MA_1 + A_1B_1$. Отсюда можно выразить длину отрезка $A_1B_1$:

$A_1B_1 = MB_1 - MA_1 = x - 9$

По условию также известно, что $A_1A_2 = A_1B_1$, следовательно, $A_1A_2 = x - 9$.

Теперь подставим все известные и выраженные значения в исходную пропорцию:

$\frac{9}{x} = \frac{x - 9}{4}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$9 \cdot 4 = x \cdot (x - 9)$

$36 = x^2 - 9x$

$x^2 - 9x - 36 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Таким образом, искомая длина отрезка $MB_1$ равна 12.

Ответ: 12 см.

47. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точку $M$, принадлежащую ребру $A_1B_1$, и прямую $AC$.

Для построения сечения обозначим секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой: $A$, $C$ и $M$ (где $M$ — точка на ребре $A_1B_1$).

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Точки $A$ и $C$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$ и одновременно лежат в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Следовательно, их соединяющий отрезок $AC$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$. Это первая сторона искомого сечения.

2. Плоскости оснований параллелепипеда параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ — это прямая $AC$. Значит, линия пересечения с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ должна быть ей параллельна и проходить через точку $M$, которая по условию лежит в секущей плоскости.

3. Проведем в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1)$ прямую через точку $M$ параллельно $AC$. Поскольку в параллелепипеде диагональ $A_1C_1$ параллельна диагонали $AC$, то мы строим прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $N$. Отрезок $MN$ — вторая сторона сечения, лежащая на верхней грани.

4. Теперь у нас есть четыре вершины многоугольника сечения: $A, M, N, C$. Соединим последовательно точки, лежащие в одних гранях:

   • Точки $A$ и $M$ лежат в плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Соединяем их и получаем сторону сечения $AM$.
   • Точки $N$ и $C$ лежат в плоскости боковой грани $(BCC_1B_1)$. Соединяем их и получаем сторону сечения $NC$.

5. В результате получаем замкнутый четырехугольник $AMNC$. Его стороны $AC$, $AM$, $MN$, $NC$ лежат на гранях параллелепипеда. Следовательно, четырехугольник $AMNC$ — искомое сечение. Так как по построению стороны $MN$ и $AC$ параллельны, то сечение является трапецией.

Ответ: Искомое сечение — трапеция $AMNC$, где точка $N$ является точкой пересечения ребра $B_1C_1$ с прямой, проходящей через точку $M$ параллельно прямой $AC$.

48. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 4 см. На отрезке $AC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 3 : 1$. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $BC_1D$, и вычислите периметр сечения.

Пусть искомая плоскость сечения называется $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ на отрезке $AC$ и параллельна плоскости $(BC_1D)$. Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

Сначала рассмотрим плоскость основания куба $(ABCD)$. Эта плоскость содержит точку $M$. Плоскость $(BC_1D)$ пересекает плоскость $(ABCD)$ по прямой $BD$. Следовательно, плоскость сечения $\alpha$ будет пересекать плоскость $(ABCD)$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной прямой $BD$. Проведем эту прямую. Диагонали $AC$ и $BD$ квадрата $ABCD$ пересекаются в его центре $O$. По условию, $AM : MC = 3 : 1$. Так как $O$ — середина $AC$, то $AO : OC = 1 : 1 = 2 : 2$. Из отношения $AM : MC = 3 : 1$ следует, что точка $M$ лежит на отрезке $OC$, причем $M$ — середина $OC$. В треугольнике $BCD$ прямая, проходящая через $M$ параллельно $BD$, пересечет стороны $BC$ и $CD$. Обозначим точки пересечения $P$ на $BC$ и $Q$ на $CD$. Отрезок $PQ$ — первая сторона сечения.

Далее, рассмотрим плоскость боковой грани $(BCC_1B_1)$. Эта плоскость содержит точку $P$. Плоскость $(BC_1D)$ пересекает плоскость $(BCC_1B_1)$ по прямой $BC_1$. Следовательно, плоскость сечения $\alpha$ будет пересекать плоскость $(BCC_1B_1)$ по прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной прямой $BC_1$. Проведем эту прямую. Пусть она пересекает ребро $CC_1$ в точке $R$. Отрезок $PR$ — вторая сторона сечения.

Аналогично, в плоскости боковой грани $(CDD_1C_1)$, содержащей точку $Q$, сечение пройдет по прямой, параллельной $DC_1$ (линии пересечения $(BC_1D)$ и $(CDD_1C_1)$). Эта прямая, выходящая из точки $Q$, также пересечет ребро $CC_1$ в той же точке $R$.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $PQR$.

Ответ: Сечением является треугольник $PQR$, вершины которого $P$, $Q$ и $R$ лежат на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ куба соответственно.

Ребро куба $a = 4$ см.

Найдем положение точек $P$, $Q$, $R$. Как было установлено при построении, точка $M$ является серединой отрезка $OC$ (где $O$ — центр основания). Так как в плоскости основания $PQ || BD$, из подобия треугольников $CQP$ и $CDB$ следует, что $P$ и $Q$ являются серединами ребер $BC$ и $CD$ соответственно.
Значит, $CP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см, и $CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

В плоскости грани $BCC_1B_1$ прямая $PR$ параллельна $BC_1$. Так как $P$ — середина $BC$, то по теореме Фалеса $R$ является серединой ребра $CC_1$.
Значит, $CR = \frac{1}{2} CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь вычислим длины сторон треугольника $PQR$.
Сторона $PQ$ является средней линией в треугольнике $BCD$. Длина диагонали основания $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ см.
Следовательно, $PQ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Сторону $PR$ найдем из прямоугольного треугольника $PCR$ (угол при вершине $C$ прямой, т.к. $CC_1 \perp (ABCD)$). По теореме Пифагора: $PR = \sqrt{PC^2 + CR^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Сторону $QR$ найдем из прямоугольного треугольника $QCR$ (угол при вершине $C$ прямой). По теореме Пифагора: $QR = \sqrt{QC^2 + CR^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Все стороны сечения равны, $PQ = PR = QR = 2\sqrt{2}$ см, значит, сечение является равносторонним треугольником.
Периметр сечения равен сумме длин его сторон:
$P_{PQR} = 3 \cdot PQ = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

49. На ребре $CD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $CM : MD = 2 : 3.$ Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $AB_1C_1.$ Найдите периметр построенного сечения, если $CD = 12,5$ см, $CC_1 = 30$ см, $AD = 17$ см.

Рис. 13

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M и параллельной плоскости AB₁C₁

Обозначим искомую плоскость сечения как $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ проходит через точку $ M $ на ребре $ CD $ и параллельна плоскости $ (AB_1C_1) $.

Поскольку $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ — прямоугольный параллелепипед, его противоположные грани параллельны и равны. В частности, грань $ ABB_1A_1 $ параллельна грани $ DCC_1D_1 $. Прямые $ AB_1 $ и $ DC_1 $ являются соответствующими диагоналями этих граней, следовательно, они параллельны: $ AB_1 \parallel DC_1 $.

Так как $ DC_1 \parallel AB_1 $ и прямая $ AB_1 $ лежит в плоскости $ (AB_1C_1) $, то прямая $ DC_1 $ параллельна плоскости $ (AB_1C_1) $ (или лежит в ней). Точка $ C_1 $ принадлежит обеим плоскостям: $ C_1 \in (DCC_1D_1) $ и $ C_1 \in (AB_1C_1) $. Значит, плоскость $ (AB_1C_1) $ пересекает плоскость $ (DCC_1D_1) $ по прямой, проходящей через $ C_1 $ и параллельной $ AB_1 $, то есть по прямой $ DC_1 $. Из этого следует, что точка $ D $ также принадлежит плоскости $ (AB_1C_1) $. Таким образом, плоскость $ (AB_1C_1) $ совпадает с плоскостью $ (ADC_1) $.

Задача сводится к построению сечения плоскостью $ \alpha $, проходящей через точку $ M $ и параллельной плоскости $ (ADC_1) $. Плоскость $ \alpha $ должна быть параллельна прямым $ AD $ и $ DC_1 $, лежащим в плоскости $ (ADC_1) $.

Выполним построение:
1. В плоскости нижнего основания $ (ABCD) $ через точку $ M $ проведем прямую, параллельную $ AD $. Она пересечет ребро $ AB $ в точке $ R $. Получим сторону сечения $ MR $, причем $ MR \parallel AD $.
2. В плоскости задней грани $ (DCC_1D_1) $ через точку $ M $ проведем прямую, параллельную диагонали $ DC_1 $. Она пересечет ребро $ CC_1 $ в точке $ P $. Получим сторону сечения $ MP $, причем $ MP \parallel DC_1 $.
3. Через точку $ P $ в плоскости боковой грани $ (BCC_1B_1) $ проведем прямую, параллельную $ AD $. Она пересечет ребро $ BB_1 $ в точке $ Q $. Получим сторону сечения $ PQ $, причем $ PQ \parallel AD $.
4. Соединим точки $ R $ и $ Q $. Так как $ MR \parallel PQ $ и $ MR = PQ = AD $, то четырехугольник $ MPQR $ — параллелограмм, и, следовательно, $ RQ \parallel MP $.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $ MPQR $, построенный указанным способом, вершины которого лежат на ребрах $ CD, CC_1, BB_1, AB $.

Найдите периметр построенного сечения, если CD = 12,5 см, CC₁ = 30 см, AD = 17 см

Периметр параллелограмма $ MPQR $ равен $ P_{MPQR} = 2 \cdot (MR + MP) $.

1. Найдем длину стороны $ MR $. По построению $ MR \parallel AD $. Так как $ M $ и $ R $ лежат на параллельных прямых $ CD $ и $ AB $, а $ MR $ перпендикулярен им (поскольку $ AD \perp CD $ в прямоугольнике основания), то $ MR $ равен расстоянию между этими прямыми, то есть $ MR = AD $. Из условия $ AD = 17 $ см, следовательно, $ MR = 17 $ см.

2. Найдем длину стороны $ MP $. По построению $ MP \parallel DC_1 $. В плоскости грани $ DCC_1D_1 $ рассмотрим треугольник $ \triangle CDC_1 $. Так как $ M \in CD $, $ P \in CC_1 $ и $ MP \parallel DC_1 $, то треугольник $ \triangle CMP $ подобен треугольнику $ \triangle CDC_1 $. Из подобия следует: $ \frac{MP}{DC_1} = \frac{CM}{CD} $.

Из условия $ CM : MD = 2 : 3 $ и $ CD = 12,5 $ см, найдем $ CM $: $ CM = \frac{2}{2+3} \cdot CD = \frac{2}{5} \cdot 12,5 = 5 $ см.

Найдем длину диагонали $ DC_1 $ из прямоугольного треугольника $ \triangle DCC_1 $ по теореме Пифагора: $ DC_1^2 = CD^2 + CC_1^2 = (12,5)^2 + 30^2 = 156,25 + 900 = 1056,25 $ см$^2$. $ DC_1 = \sqrt{1056,25} = 32,5 $ см.

Теперь из пропорции подобия найдем $ MP $: $ MP = DC_1 \cdot \frac{CM}{CD} = 32,5 \cdot \frac{5}{12,5} = 32,5 \cdot 0,4 = 13 $ см.

3. Вычислим периметр сечения: $ P_{MPQR} = 2 \cdot (MR + MP) = 2 \cdot (17 + 13) = 2 \cdot 30 = 60 $ см.

Ответ: 60 см.

50. На рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $AD$
куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки
$M, K$ и $E$ (рис. 13). Постройте сечение куба плоскостью
$MKE$.

Рис. 13

Для построения сечения куба плоскостью MKE необходимо выполнить следующие шаги, используя аксиомы стереометрии и свойства параллельных плоскостей в пространстве.

1. Соединение точек, лежащих в одной грани

Сначала соединим точки, которые лежат в плоскостях одних и тех же граней куба.

• Точки M и K находятся на ребрах AA₁ и BB₁ соответственно. Оба этих ребра принадлежат передней грани ABB₁A₁. Следовательно, точки M и K лежат в плоскости этой грани. Соединяем их отрезком MK. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани ABB₁A₁.
• Точки M и E находятся на ребрах AA₁ и AD. Эти ребра принадлежат левой боковой грани ADD₁A₁. Соединяем точки M и E отрезком ME, который является следом секущей плоскости на грани ADD₁A₁.

2. Построение следа сечения на параллельной грани

Противоположные грани куба параллельны. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Воспользуемся этим свойством.

• Грань ADD₁A₁, на которой лежит отрезок ME, параллельна грани BCC₁B₁. Значит, секущая плоскость MKE пересечет грань BCC₁B₁ по прямой, параллельной ME.
• Через точку K, которая принадлежит грани BCC₁B₁, проведем прямую, параллельную отрезку ME. Эта прямая пересечет ребро BC в некоторой точке. Обозначим эту точку F.

3. Завершение построения сечения

Теперь у нас есть все вершины многоугольника, который является искомым сечением.

• Соединяем точку K и построенную точку F. Обе они лежат в плоскости грани BCC₁B₁, поэтому отрезок KF является стороной сечения.
• Соединяем точки F и E. Они обе лежат в плоскости нижнего основания ABCD. Отрезок FE — последняя, замыкающая сторона сечения.

В результате этих построений мы получили замкнутый четырехугольник MKFE. Все его вершины лежат на ребрах куба, а стороны — на гранях куба. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник MKFE, где точка F является точкой пересечения ребра BC с прямой, проходящей через точку K параллельно прямой ME.