Страница 4 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Середины трёх сторон треугольника принадлежат плоскости $\alpha$. Докажите, что вершины данного треугольника принадлежат плоскости $\alpha$.

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A$, $B$ и $C$. Пусть точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По условию задачи, точки $M$, $N$ и $P$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Докажем, что вершины $A$, $B$ и $C$ также принадлежат плоскости $\alpha$. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что хотя бы одна из вершин треугольника не принадлежит плоскости $\alpha$. Пусть, для определённости, это будет вершина $A$, то есть $A \notin \alpha$.

Рассмотрим прямую $AB$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$, и по условию $M \in \alpha$. Так как точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, а точка $M$ лежит в этой плоскости, то прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$. Из этого следует, что точка $B$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как в противном случае вся прямая $AB$ (и, следовательно, точка $A$) лежала бы в плоскости $\alpha$, что противоречит нашему предположению. Таким образом, $B \notin \alpha$.

Аналогично рассмотрим прямую $AC$. Точка $P$ — середина отрезка $AC$, и по условию $P \in \alpha$. Так как $A \notin \alpha$, а $P \in \alpha$, прямая $AC$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $P$. Следовательно, точка $C$ также не может лежать в плоскости $\alpha$. Таким образом, $C \notin \alpha$.

Итак, наше предположение, что $A \notin \alpha$, привело к выводу, что $B \notin \alpha$ и $C \notin \alpha$.

Теперь рассмотрим точки $M$ и $P$. Обе эти точки по условию лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $MP$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Значит, прямая $MP$ параллельна прямой $BC$.

Мы имеем следующую ситуацию: прямая $BC$ параллельна прямой $MP$, а прямая $MP$ лежит в плоскости $\alpha$. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в плоскости $\alpha$.

По условию, точка $N$ — середина стороны $BC$ — принадлежит плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$). Это означает, что прямая $BC$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$. Если прямая параллельна плоскости, она не имеет с ней общих точек. Поскольку у прямой $BC$ и плоскости $\alpha$ есть общая точка $N$, то прямая $BC$ не может быть параллельна плоскости $\alpha$. Единственная оставшаяся возможность — прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Если прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая вершины $B$ и $C$, принадлежат этой плоскости. То есть, $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$.

Мы пришли к противоречию: ранее мы сделали вывод, что $B \notin \alpha$ и $C \notin \alpha$, а теперь получили, что $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$. Данное противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что вершина $A$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, вершина $A$ должна принадлежать плоскости $\alpha$. Так как выбор вершины был произвольным, аналогичные рассуждения можно провести для вершин $B$ и $C$, что доказывает, что все три вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано. Вершины данного треугольника принадлежат плоскости $\alpha$.

Следствия из аксиом стереометрии

7. Точка A принадлежит плоскости $\alpha$. Докажите, что через точку A можно провести плоскость, отличную от плоскости $\alpha$.

Дано:

Плоскость $\alpha$ и точка $A$, такая что $A \in \alpha$.

Доказать:

Существует плоскость $\beta$, такая что $A \in \beta$ и $\beta \neq \alpha$.

Доказательство:

1. Согласно одной из аксиом стереометрии, существуют точки, не лежащие в данной плоскости. Выберем точку $B$, которая не принадлежит плоскости $\alpha$. То есть, $B \notin \alpha$.

2. Согласно другой аксиоме, в любой плоскости существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, в плоскости $\alpha$ существует как минимум еще одна точка. Возьмем точку $C$ в плоскости $\alpha$, не совпадающую с точкой $A$ ($C \in \alpha$, $C \neq A$).

3. Теперь рассмотрим три точки: $A$, $B$ и $C$. Докажем, что они не лежат на одной прямой. Допустим, это не так, и точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $l$.

4. Поскольку точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости) вся прямая $l$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$).

5. Если прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все ее точки принадлежат этой плоскости. В частности, точка $B$, которая по нашему предположению лежит на прямой $l$, должна принадлежать плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

6. Мы пришли к противоречию, так как в пункте 1 мы выбрали точку $B$ так, что $B \notin \alpha$. Следовательно, наше предположение о том, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, было неверным.

7. Итак, точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. По аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\beta$. По построению, точка $A$ принадлежит этой плоскости, так как она является одной из трех точек, ее определяющих ($A \in \beta$).

8. Осталось доказать, что плоскость $\beta$ не совпадает с плоскостью $\alpha$. По построению, точка $B$ принадлежит плоскости $\beta$ ($B \in \beta$), но, как мы знаем, она не принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \notin \alpha$). Поскольку существует точка ($B$), которая принадлежит одной плоскости, но не принадлежит другой, эти плоскости не могут быть тождественными. Значит, $\beta \neq \alpha$.

Таким образом, мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через точку $A$ и отлична от плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Через точку $A$, принадлежащую плоскости $\alpha$, можно провести плоскость, отличную от плоскости $\alpha$.

8. Ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$, лежит в плоскости $\alpha$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Можно ли провести плоскость через прямую $AM$ и точки $O$ и $C$?

Для того чтобы определить, можно ли провести плоскость через прямую AM и точки O и C, необходимо выяснить, лежат ли эти объекты в одной плоскости.

Рассмотрим три точки: A, M и C.

1. По условию, ромб ABCD лежит в плоскости $\alpha$, а точка M не принадлежит этой плоскости. Это означает, что точки A и C лежат в плоскости $\alpha$, а точка M — нет.
2. Прямая AC, на которой лежат точки A и C, также полностью лежит в плоскости $\alpha$.
3. Если бы точки A, M и C лежали на одной прямой, то точка M должна была бы лежать на прямой AC. Но поскольку прямая AC лежит в плоскости $\alpha$, то и точка M лежала бы в плоскости $\alpha$, что противоречит условию задачи. Следовательно, точки A, M и C не лежат на одной прямой.

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость, назовем ее $\beta$, через точки A, M и C.

Теперь проверим, удовлетворяет ли эта плоскость $\beta$ условиям задачи:

• Проходит ли плоскость $\beta$ через прямую AM? Да, так как две точки этой прямой (A и M) принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая AM принадлежит этой плоскости.
• Проходит ли плоскость $\beta$ через точку C? Да, по построению.
• Проходит ли плоскость $\beta$ через точку O? Точка O — это точка пересечения диагоналей ромба, поэтому она лежит на диагонали AC. Так как точки A и C принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая AC, а следовательно, и точка O, принадлежат этой плоскости.

Таким образом, существует единственная плоскость $\beta$, которая проходит через прямую AM и точки O и C.

Ответ: Да, можно.

9. Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что все прямые, которые пересекают прямую $b$ и проходят через произвольную точку прямой $a$, отличную от точки $O$, лежат в одной плоскости.

Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$, то согласно аксиоме стереометрии, они определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, и прямая $a$, и прямая $b$ целиком лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$).

Рассмотрим произвольную прямую $c$, которая удовлетворяет условиям, изложенным в задаче. По определению, эта прямая $c$ должна:
1) Проходить через некоторую точку $A$ на прямой $a$, причем точка $A$ не совпадает с точкой $O$ ($A \in a, A \neq O$).
2) Пересекать прямую $b$ в некоторой точке $B$ ($B \in b$).

Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Аналогично, так как точка $B$ принадлежит прямой $b$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

Прямая $c$ проходит через две точки $A$ и $B$. Эти точки различны, так как если бы они совпадали ($A=B$), то эта точка была бы общей точкой для прямых $a$ и $b$, то есть точкой $O$. Но по условию $A \neq O$, следовательно, $A \neq B$.

Итак, прямая $c$ проходит через две различные точки $A$ и $B$, обе из которых принадлежат плоскости $\alpha$. По следствию из аксиом стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Поскольку наш выбор прямой $c$ был произвольным, это означает, что любая прямая, удовлетворяющая условиям задачи, будет лежать в одной и той же плоскости $\alpha$ — плоскости, заданной пересекающимися прямыми $a$ и $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Все прямые, которые пересекают прямую $b$ и проходят через произвольную точку прямой $a$, отличную от точки $O$, лежат в одной плоскости, а именно в той, которая определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b$.

10. Точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от плоскости $\beta$, а точки $M$ и $K$ — по разные стороны. Известно, что прямые $MN$, $MK$ и $NK$ пересекают плоскость $\beta$. Докажите, что точки их пересечения с плоскостью $\beta$ лежат на одной прямой.

По условию, прямые $MN$, $MK$ и $NK$ пересекают плоскость $\beta$. Это означает, что точки $M, N, K$ не могут лежать на одной прямой, параллельной плоскости $\beta$. Рассмотрим случай, когда точки $M, N, K$ лежат на одной прямой. Тогда прямые $MN, MK$ и $NK$ совпадают. В этом случае они пересекают плоскость $\beta$ в одной-единственной точке. Одна точка тривиально лежит на прямой. Рассмотрим основной случай, когда точки $M, N, K$ не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha$.

Поскольку точки $M, N, K$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и прямые $MN, MK, NK$, проходящие через пары этих точек, целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Пусть $P$ — точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\beta$, $Q$ — точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $\beta$, а $R$ — точка пересечения прямой $NK$ с плоскостью $\beta$.

Рассмотрим точку $P$. С одной стороны, точка $P$ принадлежит прямой $MN$. Так как вся прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$). С другой стороны, по условию, $P$ является точкой пересечения с плоскостью $\beta$, следовательно, $P$ принадлежит плоскости $\beta$ ($P \in \beta$). Таким образом, точка $P$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Проведем аналогичные рассуждения для точек $Q$ и $R$. Точка $Q$ принадлежит прямой $MK$, которая лежит в плоскости $\alpha$, значит, $Q \in \alpha$. По условию $Q \in \beta$. Следовательно, точка $Q$ также является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Точка $R$ принадлежит прямой $NK$, которая лежит в плоскости $\alpha$, значит, $R \in \alpha$. По условию $R \in \beta$. Следовательно, и точка $R$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Плоскости $\alpha$ (плоскость $MNK$) и $\beta$ пересекаются, так как они имеют общие точки $P, Q, R$. Они не совпадают, поскольку по условию точки $M, N, K$ не лежат в плоскости $\beta$. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на этой прямой.

Так как все три точки $P, Q$ и $R$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, они все должны принадлежать прямой пересечения этих двух плоскостей. Следовательно, точки $P, Q, R$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки пересечения прямых $MN, MK$ и $NK$ с плоскостью $\beta$ являются общими точками для двух плоскостей: данной плоскости $\beta$ и плоскости $\alpha$, проходящей через точки $M, N, K$. Пересечение двух различных плоскостей есть прямая, следовательно, все указанные точки пересечения лежат на этой одной прямой.

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

11. Точка $M$ – середина ребра $SA$ пирамиды $SABC$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $B$, $C$ и $M$.

Рис. 2

Для построения сечения пирамиды $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $B$, $C$ и $M$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями пирамиды.

1. Точки $B$ и $C$ по условию принадлежат секущей плоскости. Они также являются вершинами основания пирамиды и лежат в плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, прямая $BC$ является линией пересечения секущей плоскости и плоскости основания. Отрезок $BC$ — это одна из сторон искомого сечения.

2. Точки $M$ и $B$ принадлежат секущей плоскости. Точка $M$ лежит на ребре $SA$, а точка $B$ — вершина пирамиды. Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани $(SAB)$. Следовательно, прямая $MB$ является линией пересечения секущей плоскости и плоскости грани $(SAB)$. Отрезок $MB$ — это вторая сторона искомого сечения.

3. Аналогично, точки $M$ и $C$ принадлежат секущей плоскости. Обе эти точки также лежат в плоскости боковой грани $(SAC)$. Следовательно, прямая $MC$ является линией пересечения секущей плоскости и плоскости грани $(SAC)$. Отрезок $MC$ — это третья сторона искомого сечения.

4. Соединив отрезками точки $B$, $C$ и $M$, мы получаем треугольник $MBC$. Вершины этого треугольника лежат на ребрах пирамиды ($M \in SA$, $B$ и $C$ — вершины основания), а его стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды. Таким образом, треугольник $MBC$ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $MBC$.

12. На рёбрах $SB$ и $SC$ пирамиды $SABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 2). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$, если прямые $MK$ и $BC$ не параллельны.

Рис. 2

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $MK$, и плоскости $ABC$.

1. Рассмотрим плоскость боковой грани $SBC$. Точка $M$ лежит на ребре $SB$, а точка $K$ — на ребре $SC$. Оба ребра, $SB$ и $SC$, принадлежат плоскости $SBC$. Следовательно, прямая $MK$, проходящая через эти точки, целиком лежит в плоскости $SBC$.

2. Прямая $BC$ является ребром основания и также принадлежит плоскости грани $SBC$. Таким образом, обе прямые, $MK$ и $BC$, лежат в одной плоскости ($SBC$).

3. По условию задачи, прямые $MK$ и $BC$ не параллельны. Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются в одной точке. Найдём эту точку пересечения.

Построение:

1. Проводим прямую через точки $M$ и $K$.
2. Проводим прямую через точки $B$ и $C$.
3. Находим точку пересечения этих двух прямых. Обозначим её $P$.

Точка $P$ по построению принадлежит прямой $MK$. Также точка $P$ принадлежит прямой $BC$. Поскольку прямая $BC$ лежит в плоскости основания $ABC$, то и точка $P$ лежит в плоскости $ABC$.

Следовательно, точка $P$ является искомой точкой пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $BC$.