Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Следствия из аксиом стереометрии

7. Точка A принадлежит плоскости $\alpha$. Докажите, что через точку A можно провести плоскость, отличную от плоскости $\alpha$.

Дано:

Плоскость $\alpha$ и точка $A$, такая что $A \in \alpha$.

Доказать:

Существует плоскость $\beta$, такая что $A \in \beta$ и $\beta \neq \alpha$.

Доказательство:

1. Согласно одной из аксиом стереометрии, существуют точки, не лежащие в данной плоскости. Выберем точку $B$, которая не принадлежит плоскости $\alpha$. То есть, $B \notin \alpha$.

2. Согласно другой аксиоме, в любой плоскости существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, в плоскости $\alpha$ существует как минимум еще одна точка. Возьмем точку $C$ в плоскости $\alpha$, не совпадающую с точкой $A$ ($C \in \alpha$, $C \neq A$).

3. Теперь рассмотрим три точки: $A$, $B$ и $C$. Докажем, что они не лежат на одной прямой. Допустим, это не так, и точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $l$.

4. Поскольку точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости) вся прямая $l$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$).

5. Если прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все ее точки принадлежат этой плоскости. В частности, точка $B$, которая по нашему предположению лежит на прямой $l$, должна принадлежать плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

6. Мы пришли к противоречию, так как в пункте 1 мы выбрали точку $B$ так, что $B \notin \alpha$. Следовательно, наше предположение о том, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, было неверным.

7. Итак, точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. По аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\beta$. По построению, точка $A$ принадлежит этой плоскости, так как она является одной из трех точек, ее определяющих ($A \in \beta$).

8. Осталось доказать, что плоскость $\beta$ не совпадает с плоскостью $\alpha$. По построению, точка $B$ принадлежит плоскости $\beta$ ($B \in \beta$), но, как мы знаем, она не принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \notin \alpha$). Поскольку существует точка ($B$), которая принадлежит одной плоскости, но не принадлежит другой, эти плоскости не могут быть тождественными. Значит, $\beta \neq \alpha$.

Таким образом, мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через точку $A$ и отлична от плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Через точку $A$, принадлежащую плоскости $\alpha$, можно провести плоскость, отличную от плоскости $\alpha$.