Номер 10, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от плоскости $\beta$, а точки $M$ и $K$ — по разные стороны. Известно, что прямые $MN$, $MK$ и $NK$ пересекают плоскость $\beta$. Докажите, что точки их пересечения с плоскостью $\beta$ лежат на одной прямой.

По условию, прямые $MN$, $MK$ и $NK$ пересекают плоскость $\beta$. Это означает, что точки $M, N, K$ не могут лежать на одной прямой, параллельной плоскости $\beta$. Рассмотрим случай, когда точки $M, N, K$ лежат на одной прямой. Тогда прямые $MN, MK$ и $NK$ совпадают. В этом случае они пересекают плоскость $\beta$ в одной-единственной точке. Одна точка тривиально лежит на прямой. Рассмотрим основной случай, когда точки $M, N, K$ не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha$.

Поскольку точки $M, N, K$ принадлежат плоскости $\alpha$, то и прямые $MN, MK, NK$, проходящие через пары этих точек, целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Пусть $P$ — точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $\beta$, $Q$ — точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $\beta$, а $R$ — точка пересечения прямой $NK$ с плоскостью $\beta$.

Рассмотрим точку $P$. С одной стороны, точка $P$ принадлежит прямой $MN$. Так как вся прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$). С другой стороны, по условию, $P$ является точкой пересечения с плоскостью $\beta$, следовательно, $P$ принадлежит плоскости $\beta$ ($P \in \beta$). Таким образом, точка $P$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Проведем аналогичные рассуждения для точек $Q$ и $R$. Точка $Q$ принадлежит прямой $MK$, которая лежит в плоскости $\alpha$, значит, $Q \in \alpha$. По условию $Q \in \beta$. Следовательно, точка $Q$ также является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Точка $R$ принадлежит прямой $NK$, которая лежит в плоскости $\alpha$, значит, $R \in \alpha$. По условию $R \in \beta$. Следовательно, и точка $R$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Плоскости $\alpha$ (плоскость $MNK$) и $\beta$ пересекаются, так как они имеют общие точки $P, Q, R$. Они не совпадают, поскольку по условию точки $M, N, K$ не лежат в плоскости $\beta$. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на этой прямой.

Так как все три точки $P, Q$ и $R$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, они все должны принадлежать прямой пересечения этих двух плоскостей. Следовательно, точки $P, Q, R$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки пересечения прямых $MN, MK$ и $NK$ с плоскостью $\beta$ являются общими точками для двух плоскостей: данной плоскости $\beta$ и плоскости $\alpha$, проходящей через точки $M, N, K$. Пересечение двух различных плоскостей есть прямая, следовательно, все указанные точки пересечения лежат на этой одной прямой.