Номер 17, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 6) плоскостью, проходящей через точку $A$ и точки $E$ и $F$, которые лежат на рёбрах $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно.

Рис. 6

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $E$ и $F$, выполним следующие шаги:

1. Построение отрезков сечения на известных гранях

Точки $A$ и $E$ лежат в плоскости одной и той же боковой грани $AA_1B_1B$. Следовательно, отрезок $AE$ является стороной искомого сечения. Проводим этот отрезок.

Аналогично, точки $E$ и $F$ лежат в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Соединяем их отрезком $EF$, который также является стороной сечения.

2. Нахождение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания

Для нахождения остальных сторон сечения необходимо найти точки пересечения секущей плоскости с другими ребрами призмы. Для этого воспользуемся методом следов.

В плоскости грани $AA_1B_1B$ продлим прямую $AE$ и прямую $A_1B_1$ до их пересечения. Точку пересечения обозначим $Q$.

• Точка $Q$ принадлежит прямой $AE$, а значит, лежит в секущей плоскости $(AEF)$.
• Точка $Q$ принадлежит прямой $A_1B_1$, а значит, лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$.

Точка $F$ по условию принадлежит секущей плоскости и лежит на ребре $B_1C_1$, то есть также находится в плоскости верхнего основания. Таким образом, прямая $QF$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$.

3. Нахождение четвертой вершины сечения

Проводим прямую $QF$. Эта прямая лежит в плоскости верхнего основания и пересекает ребро $A_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $G$.

Точка $G$ является четвертой вершиной искомого сечения, а отрезок $FG$ — его стороной, лежащей на грани верхнего основания $A_1B_1C_1$.

4. Завершение построения

На данном этапе мы имеем четыре вершины сечения: $A, E, F, G$. Точки $A$ и $G$ лежат в одной плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединяем их отрезком $AG$, получая последнюю сторону сечения.

В результате построен четырехугольник $AEFG$, который является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEFG$. Построение производится следующим образом: 1) проводятся отрезки $AE$ и $EF$, лежащие на гранях призмы; 2) находится вспомогательная точка $Q$ как точка пересечения прямых $AE$ и $A_1B_1$; 3) находится вершина $G$ как точка пересечения прямой $QF$ и ребра $A_1C_1$; 4) проводятся отрезки $FG$ и $GA$ для замыкания сечения.