Страница 12 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. В каком случае параллельной проекцией треугольника является:

1) отрезок;

2) треугольник, равный данному треугольнику?

1) отрезок;
Параллельной проекцией треугольника является отрезок в том случае, когда плоскость, в которой лежит этот треугольник, параллельна направлению проектирования. Пусть дан треугольник $ABC$. Если плоскость $(ABC)$ параллельна направлению проектирования $l$, то все точки треугольника проецируются на одну прямую, которая является пересечением плоскости $(ABC)$ с плоскостью проекции. В результате проекциями вершин $A$, $B$, $C$ станут три точки $A'$, $B'$, $C'$, лежащие на одной прямой, а проекцией всего треугольника будет отрезок (в вырожденном случае — точка).
Ответ: Параллельной проекцией треугольника является отрезок, если плоскость треугольника параллельна направлению проектирования.

2) треугольник, равный данному треугольнику?
Параллельной проекцией треугольника является треугольник, равный (конгруэнтный) данному, в том случае, когда плоскость, в которой лежит этот треугольник, параллельна плоскости проекции. Пусть $\triangle ABC$ — исходный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, а $\triangle A'B'C'$ — его проекция на плоскость $\beta$. Если плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$), то для любых двух точек $P$ и $Q$ в плоскости $\alpha$ и их проекций $P'$ и $Q'$ в плоскости $\beta$ четырехугольник $PQQ'P'$ является параллелограммом. Следовательно, длина отрезка равна длине его проекции: $|PQ| = |P'Q'|$. Поскольку при таком проецировании сохраняются расстояния между точками, оно является изометрическим преобразованием (движением). Таким образом, длины сторон треугольника сохраняются: $|AB| = |A'B'|$, $|BC| = |B'C'|$, $|CA| = |C'A'|$. По третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.
Ответ: Параллельной проекцией треугольника является треугольник, равный данному, если плоскость треугольника параллельна плоскости проекции.

57. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением равностороннего треугольника $ABC$, точка $M_1$ — изображение некоторой точки $M$, принадлежащей треугольнику, но не лежащей на его сторонах (рис. 17). Постройте изображения перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на стороны $AC$ и $AB$.

Рис. 17

Для построения изображений перпендикуляров воспользуемся свойствами равностороннего треугольника и параллельного проектирования. В равностороннем треугольнике высота, опущенная на сторону, является также и медианой. При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Следовательно, середина отрезка проектируется в середину его изображения.

Построение изображения перпендикуляра из точки M на сторону AC

В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $BK$, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $AC$.

Пусть $MH$ - перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на сторону $AC$ ($H \in AC$). Так как и $MH$, и $BK$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, то они параллельны между собой: $MH \parallel BK$.

При параллельном проектировании параллельность прямых сохраняется. Это значит, что изображение $M_1H_1$ перпендикуляра $MH$ будет параллельно изображению $B_1K_1$ высоты $BK$. Изображением медианы $BK$ является медиана $B_1K_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Алгоритм построения:

1. Находим точку $K_1$ — середину отрезка $A_1C_1$.
2. Соединяем точки $B_1$ и $K_1$. Отрезок $B_1K_1$ является изображением высоты (и медианы) $BK$ треугольника $ABC$.
3. Через точку $M_1$ проводим прямую, параллельную отрезку $B_1K_1$.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1C_1$ и будет являться точкой $H_1$ — изображением основания перпендикуляра.

Ответ: Отрезок $M_1H_1$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AC$.

Построение изображения перпендикуляра из точки M на сторону AB

Рассуждаем аналогично. В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $CL$, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, является также и медианой. Точка $L$ является серединой стороны $AB$.

Пусть $MG$ - перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на сторону $AB$ ($G \in AB$). Так как $MG \perp AB$ и $CL \perp AB$, то $MG \parallel CL$.

Изображение $M_1G_1$ перпендикуляра $MG$ будет параллельно изображению $C_1L_1$ высоты $CL$. Изображением медианы $CL$ является медиана $C_1L_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Алгоритм построения:

1. Находим точку $L_1$ — середину отрезка $A_1B_1$.
2. Соединяем точки $C_1$ и $L_1$. Отрезок $C_1L_1$ является изображением высоты (и медианы) $CL$ треугольника $ABC$.
3. Через точку $M_1$ проводим прямую, параллельную отрезку $C_1L_1$.
4. Точка пересечения этой прямой со стороной $A_1B_1$ и будет являться точкой $G_1$ — изображением основания перпендикуляра.

Ответ: Отрезок $M_1G_1$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AB$.

58. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — изображение ромба $ABCD$, в котором $BD = AB$. Постройте изображение высоты ромба, опущенной из вершины $D$ на сторону $AB$.

По условию задачи, $A_1B_1C_1D_1$ — это изображение ромба $ABCD$. В ромбе все стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Также дано, что диагональ $BD$ равна стороне ромба: $BD = AB$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны $AB$, $AD$ и $BD$ равны между собой ($AB = AD$ как стороны ромба, и $BD = AB$ по условию). Следовательно, треугольник $ABD$ является равносторонним.

Пусть $DH$ — высота ромба, опущенная из вершины $D$ на сторону $AB$. Эта высота одновременно является высотой в равностороннем треугольнике $ABD$. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Это означает, что точка $H$ — основание высоты — является серединой стороны $AB$.

При параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину его изображения. Так как $A_1B_1C_1D_1$ — изображение ромба $ABCD$, то точка $A_1$ — изображение точки $A$, $B_1$ — изображение $B$, и так далее. Следовательно, изображение точки $H$, которую мы обозначим $H_1$, будет являться серединой отрезка $A_1B_1$.

Изображением высоты $DH$ будет отрезок, соединяющий изображения ее концов, то есть отрезок $D_1H_1$.

Таким образом, для построения изображения высоты ромба, опущенной из вершины $D$ на сторону $AB$, необходимо:
1. Найти середину стороны $A_1B_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Обозначим эту точку $H_1$.
2. Соединить отрезком вершину $D_1$ с точкой $H_1$.

Полученный отрезок $D_1H_1$ является искомым изображением высоты.

Ответ: Изображением высоты ромба, опущенной из вершины $D$ на сторону $AB$, является отрезок $D_1H_1$, где $H_1$ — середина стороны $A_1B_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

59. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равностороннего треугольника $ABC$. Постройте изображение ромба $ADEF$, если $D \in AB$, $E \in BC$, $F \in AC$.

Для построения изображения ромба $ADEF$ необходимо сначала определить его расположение в оригинальном равностороннем треугольнике $ABC$.

Поскольку $ADEF$ — ромб, то его стороны равны: $AD = DE = EF = FA$. Вершина $A$ является общей для ромба и треугольника. Вершины $D$ и $F$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Из равенства сторон ромба следует, что $AD=AF$. В равностороннем треугольнике $ABC$ угол $\angle BAC = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $ADF$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, что делает его равносторонним. Таким образом, $AD = AF = DF$.

Из свойств ромба следует, что его противоположные стороны параллельны. В частности, $DE \parallel AF$, и так как $F \in AC$, то $DE \parallel AC$. Аналогично, $EF \parallel AD$, и так как $D \in AB$, то $EF \parallel AB$.

Параллельность $DE \parallel AC$ означает, что треугольник $BDE$ подобен треугольнику $BCA$. Так как $\triangle BCA$ равносторонний, то и $\triangle BDE$ равносторонний, и $BD=DE$. Учитывая, что $AD=DE$ (стороны ромба), получаем $AD=BD$. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $AB$.

Аналогично доказывается, что $F$ — середина стороны $AC$, а $E$ — середина стороны $BC$.

Таким образом, в исходной конфигурации вершины ромба $D, E, F$ являются серединами сторон треугольника $ABC$.

При параллельном проектировании сохраняется свойство точки быть серединой отрезка. Это означает, что изображение точки, являющейся серединой отрезка, будет являться серединой изображения этого отрезка. Следовательно, для построения изображения ромба $A_1D_1E_1F_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$ необходимо найти середины его сторон.

Построение:

1. На стороне $A_1B_1$ данного треугольника $A_1B_1C_1$ строим её середину — точку $D_1$.
2. На стороне $A_1C_1$ строим её середину — точку $F_1$.
3. На стороне $B_1C_1$ строим её середину — точку $E_1$.
4. Последовательно соединяем отрезками точки $A_1, D_1, E_1$ и $F_1$.

Полученный четырёхугольник $A_1D_1E_1F_1$ является искомым изображением ромба. В общем случае он будет являться параллелограммом.

Ответ: Искомое изображение ромба — это четырёхугольник $A_1D_1E_1F_1$, где $D_1, E_1, F_1$ — середины сторон $A_1B_1, B_1C_1, A_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно.

60. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — изображение квадрата $ABCD$. Постройте изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$ с гипотенузой $AD$, лежащего в плоскости $ABC$ и расположенного вне квадрата $ABCD$.

Анализ

По условию, параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является параллельной проекцией (изображением) квадрата $ABCD$. Нам необходимо построить изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$ с гипотенузой $AD$.

Рассмотрим свойства исходных фигур в плоскости.

1. Треугольник $ADE$ — прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой $AD$. Это означает, что катеты $AE$ и $DE$ равны, а угол $\angle AED = 90^\circ$.

2. Проведем медиану $EM$ к гипотенузе $AD$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Следовательно, $EM = \frac{1}{2}AD$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана является и высотой, поэтому $EM \perp AD$.

3. В квадрате $ABCD$ сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$, то есть $AB \perp AD$.

4. Так как и $EM$, и $AB$ лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной и той же прямой $AD$, то они параллельны: $EM \parallel AB$.

5. В квадрате $ABCD$ все стороны равны, поэтому $AD = AB$. Тогда из пункта 2 получаем: $EM = \frac{1}{2}AB$.

Теперь воспользуемся свойствами параллельного проецирования:

- Параллельность прямых сохраняется. Если $EM \parallel AB$, то их изображения $E_1M_1$ и $A_1B_1$ также будут параллельны ($E_1M_1 \parallel A_1B_1$).

- Отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых (или на одной прямой), сохраняется. Так как $EM \parallel AB$ и $EM = \frac{1}{2}AB$, то для их изображений будет выполняться соотношение $E_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

- Середина отрезка проецируется в середину проекции отрезка. То есть точка $M_1$, являющаяся изображением середины $M$ отрезка $AD$, будет серединой отрезка $A_1D_1$.

Эти свойства позволяют нам выполнить построение.

Построение

1. Находим середину отрезка $A_1D_1$ и обозначаем ее $M_1$.

2. Через точку $M_1$ проводим прямую, параллельную прямой $A_1B_1$.

3. На этой прямой от точки $M_1$ откладываем отрезок $M_1E_1$, длина которого равна половине длины отрезка $A_1B_1$ ($M_1E_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$). Так как по условию треугольник $ADE$ расположен вне квадрата $ABCD$, точку $E_1$ следует откладывать с внешней стороны от параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

4. Соединяем точку $E_1$ с точками $A_1$ и $D_1$.

Полученный треугольник $A_1E_1D_1$ является искомым изображением.

Обоснование

Построенный треугольник $A_1E_1D_1$ является изображением треугольника $ADE$. Точки $A_1$ и $D_1$ даны по условию как изображения точек $A$ и $D$. Точка $E_1$ построена как изображение точки $E$. Проверим это:

- Точка $M_1$ — середина $A_1D_1$, следовательно, является изображением середины $M$ отрезка $AD$.

- Прямая $E_1M_1$ построена параллельно $A_1B_1$, значит, их прообразы $EM$ и $AB$ также параллельны.

- Отношение длин $E_1M_1 / A_1B_1 = 1/2$ сохраняется для прообразов: $EM / AB = 1/2$.

Таким образом, прообраз $E$ точки $E_1$ таков, что $EM \parallel AB$ и $EM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AD$. Из $EM \parallel AB$ и $AB \perp AD$ следует, что $EM \perp AD$. В треугольнике $ADE$ отрезок $EM$ является медианой и высотой, следовательно, $\triangle ADE$ — равнобедренный ($AE=DE$). Так как медиана к стороне $AD$ равна ее половине ($EM = \frac{1}{2}AD$), то $\triangle ADE$ — прямоугольный с гипотенузой $AD$. Построение выполнено верно.

Ответ: Треугольник $A_1E_1D_1$, построенный согласно указанным шагам, является искомым изображением прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$.

61. Трапеция $A_1 B_1 C_1 D_1$ — изображение трапеции $ABCD$, в которой $AB = BC = CD$, $BC < AD$. Постройте изображение центра окружности, касающейся боковых сторон и меньшего основания трапеции $ABCD$.

Для построения изображения центра искомой окружности воспользуемся свойствами исходной трапеции $ABCD$ и свойствами параллельного проектирования.

1. Анализ свойств трапеции и центра окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, касающейся боковых сторон $AB$, $CD$ и меньшего основания $BC$ трапеции $ABCD$.

• По определению, центр $O$ равноудален от прямых $AB$, $BC$ и $CD$.
• Из условия $AB = CD$ следует, что трапеция $ABCD$ равнобедренная. Центр $O$, будучи равноудаленным от боковых сторон $AB$ и $CD$, должен лежать на оси симметрии трапеции.
• Так как центр $O$ равноудален от сторон $AB$ и $BC$, он лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.
• Следовательно, точка $O$ является точкой пересечения оси симметрии трапеции и биссектрисы угла $\angle ABC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, противолежащей основанию, является также медианой. Таким образом, биссектриса угла $\angle ABC$ проходит через середину стороны $AC$.

2. Построение.

При параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину его образа, а прямые — в прямые. Это позволяет нам построить изображения оси симметрии и биссектрисы угла, а затем найти их пересечение.

Пусть дана трапеция $A_1B_1C_1D_1$ — изображение трапеции $ABCD$.

1. Построение изображения оси симметрии трапеции.
   Ось симметрии равнобедренной трапеции проходит через точку пересечения ее диагоналей и точку пересечения продолжений ее боковых сторон.
   а) Построим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ и найдем их точку пересечения $P_1$.
   б) Продлим боковые стороны $A_1B_1$ и $C_1D_1$ до их пересечения в точке $S_1$.
   в) Проведем прямую $S_1P_1$. Эта прямая является изображением оси симметрии трапеции $ABCD$.
2. Построение изображения биссектрисы угла $\angle ABC$.
   Как было показано выше, биссектриса угла $\angle ABC$ является медианой треугольника $\triangle ABC$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.
   а) Построим диагональ $A_1C_1$.
   б) Найдем середину $K_1$ отрезка $A_1C_1$. (Построение середины отрезка является стандартной задачей, которая решается с помощью циркуля и линейки или только линейки и построения параллельных прямых).
   в) Проведем прямую $B_1K_1$. Эта прямая является изображением биссектрисы угла $\angle ABC$.
3. Нахождение изображения центра окружности.
   Изображение центра окружности $O_1$ является точкой пересечения изображения оси симметрии (прямая $S_1P_1$) и изображения биссектрисы (прямая $B_1K_1$).
   Найдем точку $O_1 = S_1P_1 \cap B_1K_1$.

Точка $O_1$, полученная в результате описанных построений, является искомым изображением центра окружности, касающейся боковых сторон и меньшего основания трапеции $ABCD$.

Ответ: Искомая точка $O_1$ есть точка пересечения прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей $P_1$ и точку пересечения продолжений боковых сторон $S_1$ трапеции $A_1B_1C_1D_1$, и прямой, соединяющей вершину $B_1$ с серединой $K_1$ диагонали $A_1C_1$.

62. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 18), прямая $p_1$ — проекция прямой $p$, лежащей в плоскости $ABC$, на плоскость $\alpha$. Постройте прямую $p$.

Рис. 18

Поскольку по условию прямая $p$ лежит в плоскости $ABC$, а прямая $p_1$ является ее параллельной проекцией на плоскость $\alpha$, для построения прямой $p$ достаточно найти две ее точки. Мы можем найти точки пересечения прямой $p$ с другими прямыми, лежащими в плоскости $ABC$, например, со сторонами треугольника $AC$ и $BC$.

Алгоритм построения следующий:

1. Найдем точку $M$, которая является пересечением искомой прямой $p$ и прямой $AC$ ($M = p \cap AC$). Так как точка $M$ лежит на прямой $p$, ее проекция $M_1$ должна лежать на проекции прямой $p$, то есть на прямой $p_1$. Аналогично, так как $M$ лежит на прямой $AC$, ее проекция $M_1$ должна лежать на проекции прямой $AC$, то есть на прямой $A_1C_1$. Следовательно, точка $M_1$ является точкой пересечения прямых $p_1$ и $A_1C_1$. Построим прямые $A_1C_1$ и $p_1$ и найдем их точку пересечения $M_1$.
2. Точка $M$ является прообразом точки $M_1$ при данном параллельном проецировании. Это означает, что прямая $MM_1$ параллельна направлению проецирования (которое задается, например, прямой $AA_1$). Чтобы найти точку $M$, проведем через точку $M_1$ прямую, параллельную $AA_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой $AC$ и будет искомой точкой $M$.
3. Аналогичным образом найдем точку $N$ — пересечение прямой $p$ и прямой $BC$ ($N = p \cap BC$). Ее проекция $N_1$ является точкой пересечения проекций этих прямых, то есть $N_1 = p_1 \cap B_1C_1$. Находим точку пересечения прямых $p_1$ и $B_1C_1$.
4. Чтобы найти точку $N$, проведем через точку $N_1$ прямую, параллельную направлению проецирования (например, прямой $BB_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой $BC$ будет искомой точкой $N$.
5. Мы нашли две точки $M$ и $N$, принадлежащие прямой $p$. Проводим прямую через эти две точки. Прямая $MN$ и есть искомая прямая $p$.

Обоснование: Построенная прямая $p$ проходит через точки $M$ и $N$. Точка $M$ лежит на прямой $AC$, а точка $N$ — на прямой $BC$. Следовательно, вся прямая $MN$ лежит в плоскости $ABC$. Проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$ по построению является точка $M_1$, лежащая на прямой $p_1$. Проекцией точки $N$ является точка $N_1$, также лежащая на прямой $p_1$. Так как при параллельном проецировании проекцией прямой является прямая (проходящая через проекции ее точек), то проекцией построенной прямой $p$ является прямая $M_1N_1$, то есть прямая $p_1$. Таким образом, построенная прямая удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая прямая $p$ — это прямая, проходящая через точки $M$ и $N$. Точка $M$ находится как пересечение прямой $AC$ с прямой, проведенной через точку $M_1 = p_1 \cap A_1C_1$ параллельно $AA_1$. Точка $N$ находится как пересечение прямой $BC$ с прямой, проведенной через точку $N_1 = p_1 \cap B_1C_1$ параллельно $BB_1$.