Номер 56, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. В каком случае параллельной проекцией треугольника является:

1) отрезок;

2) треугольник, равный данному треугольнику?

1) отрезок;
Параллельной проекцией треугольника является отрезок в том случае, когда плоскость, в которой лежит этот треугольник, параллельна направлению проектирования. Пусть дан треугольник $ABC$. Если плоскость $(ABC)$ параллельна направлению проектирования $l$, то все точки треугольника проецируются на одну прямую, которая является пересечением плоскости $(ABC)$ с плоскостью проекции. В результате проекциями вершин $A$, $B$, $C$ станут три точки $A'$, $B'$, $C'$, лежащие на одной прямой, а проекцией всего треугольника будет отрезок (в вырожденном случае — точка).
Ответ: Параллельной проекцией треугольника является отрезок, если плоскость треугольника параллельна направлению проектирования.

2) треугольник, равный данному треугольнику?
Параллельной проекцией треугольника является треугольник, равный (конгруэнтный) данному, в том случае, когда плоскость, в которой лежит этот треугольник, параллельна плоскости проекции. Пусть $\triangle ABC$ — исходный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, а $\triangle A'B'C'$ — его проекция на плоскость $\beta$. Если плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$), то для любых двух точек $P$ и $Q$ в плоскости $\alpha$ и их проекций $P'$ и $Q'$ в плоскости $\beta$ четырехугольник $PQQ'P'$ является параллелограммом. Следовательно, длина отрезка равна длине его проекции: $|PQ| = |P'Q'|$. Поскольку при таком проецировании сохраняются расстояния между точками, оно является изометрическим преобразованием (движением). Таким образом, длины сторон треугольника сохраняются: $|AB| = |A'B'|$, $|BC| = |B'C'|$, $|CA| = |C'A'|$. По третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.
Ответ: Параллельной проекцией треугольника является треугольник, равный данному, если плоскость треугольника параллельна плоскости проекции.