Номер 55, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Может ли быть параллельной проекцией параллелограмма четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ соответственно равны $70^\circ, 110^\circ, 110^\circ$ и $70^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся одним из ключевых свойств параллельного проектирования: при параллельном проектировании параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Пусть $ABCD$ — исходный параллелограмм. По определению параллелограмма, его противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$.

При параллельном проектировании на некоторую плоскость, если проекцией является невырожденный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, то свойство параллельности сторон сохраняется. Это означает, что проекции противоположных сторон исходного параллелограмма также будут параллельны: $A_1B_1 \parallel D_1C_1$ и $A_1D_1 \parallel B_1C_1$.

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, параллельная проекция параллелограмма (невырожденная) всегда является параллелограммом.

Теперь рассмотрим предложенный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого равны:$\angle A_1 = 70^\circ$$\angle B_1 = 110^\circ$$\angle C_1 = 110^\circ$$\angle D_1 = 70^\circ$

Проверим, является ли этот четырехугольник параллелограммом. Одно из основных свойств параллелограмма — равенство его противоположных углов. В нашем случае:

• Противоположные углы $\angle A_1$ и $\angle C_1$ не равны: $\angle A_1 = 70^\circ$, а $\angle C_1 = 110^\circ$.
• Противоположные углы $\angle B_1$ и $\angle D_1$ также не равны: $\angle B_1 = 110^\circ$, а $\angle D_1 = 70^\circ$.

Поскольку у четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ противоположные углы не равны, он не является параллелограммом. (Этот четырехугольник является равнобокой трапецией, так как $\angle A_1 + \angle B_1 = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$, что означает $A_1D_1 \parallel B_1C_1$, а углы при основании $A_1D_1$ равны: $\angle A_1 = \angle D_1 = 70^\circ$).

Так как параллельная проекция параллелограмма должна быть параллелограммом, а данный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ параллелограммом не является, он не может быть параллельной проекцией параллелограмма.

Ответ: Нет, не может.