Номер 51, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через точки $M, K \text{ и } N$, принадлежащие соответственно рёбрам $AB, B_1C_1 \text{ и } CC_1$.

Для построения сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $M \in AB$, $K \in B_1C_1$ и $N \in CC_1$, выполним следующие действия по шагам:

1. Поскольку точки $K$ и $N$ лежат в плоскости одной грани $BCC_1B_1$, мы можем соединить их. Отрезок $NK$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Далее воспользуемся методом следов для нахождения остальных точек. Построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания ($ABCD$). Для этого найдём точку пересечения прямой $NK$ с плоскостью ($ABCD$). Прямая $NK$ и прямая $BC$ лежат в одной плоскости ($BCC_1B_1$), поэтому найдём их точку пересечения: $P = NK \cap BC$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $NK$) и плоскости основания (так как лежит на прямой $BC$). Точка $M$ по условию также принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, прямая $MP$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.

3. Найдём точки пересечения следа $MP$ с рёбрами основания $ABCD$. Одна точка, $M$, лежит на ребре $AB$. Проведём прямую $MP$ и найдём её точку пересечения с другим ребром основания. В общем случае, в зависимости от расположения исходных точек, эта прямая может пересечь ребро $AD$ или $CD$. Будем считать, что она пересекает ребро $AD$ в точке $L$. Таким образом, отрезок $ML$ — это сторона сечения, лежащая на грани $ABCD$.

4. Для нахождения остальных вершин сечения используем свойство параллельности граней параллелепипеда: секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.
   - Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Значит, линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью будет параллельна её следу на нижней грани ($MP$). Проведём через точку $K$ в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ прямую, параллельную $MP$. Пусть она пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $T$. Отрезок $KT$ — сторона сечения.
   - Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ также параллельны. Линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ будет параллельна прямой $NK$. Проведём через точку $L$ в плоскости $ADD_1A_1$ прямую, параллельную $NK$. Пусть она пересекает ребро $DD_1$ в точке $S$. Отрезок $LS$ — ещё одна сторона сечения.

5. Мы получили все вершины искомого сечения: $M \in AB$, $L \in AD$, $S \in DD_1$, $N \in CC_1$, $K \in B_1C_1$ и $T \in A_1B_1$. Теперь последовательно соединим отрезками те вершины, которые лежат в одной грани:
   - $M$ и $T$ в грани $ABB_1A_1$ → отрезок $MT$.
   - $T$ и $K$ в грани $A_1B_1C_1D_1$ → отрезок $TK$.
   - $K$ и $N$ в грани $BCC_1B_1$ → отрезок $NK$.
   - $N$ и $S$ в грани $CDD_1C_1$ → отрезок $NS$.
   - $S$ и $L$ в грани $ADD_1A_1$ → отрезок $LS$.
   - $L$ и $M$ в грани $ABCD$ → отрезок $ML$.
   Полученный замкнутый шестиугольник $MTKNSL$ является искомым сечением.

Следует отметить, что в зависимости от конкретного расположения точек $M$, $K$ и $N$ сечение может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником. Описанный алгоритм рассматривает общий случай, который приводит к построению шестиугольника.

Ответ: Искомым сечением является многоугольник $MTKNSL$ (в общем случае шестиугольник), построенный в соответствии с описанным алгоритмом.