Номер 49, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. На ребре $CD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $CM : MD = 2 : 3.$ Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $AB_1C_1.$ Найдите периметр построенного сечения, если $CD = 12,5$ см, $CC_1 = 30$ см, $AD = 17$ см.

Рис. 13

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M и параллельной плоскости AB₁C₁

Обозначим искомую плоскость сечения как $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ проходит через точку $ M $ на ребре $ CD $ и параллельна плоскости $ (AB_1C_1) $.

Поскольку $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ — прямоугольный параллелепипед, его противоположные грани параллельны и равны. В частности, грань $ ABB_1A_1 $ параллельна грани $ DCC_1D_1 $. Прямые $ AB_1 $ и $ DC_1 $ являются соответствующими диагоналями этих граней, следовательно, они параллельны: $ AB_1 \parallel DC_1 $.

Так как $ DC_1 \parallel AB_1 $ и прямая $ AB_1 $ лежит в плоскости $ (AB_1C_1) $, то прямая $ DC_1 $ параллельна плоскости $ (AB_1C_1) $ (или лежит в ней). Точка $ C_1 $ принадлежит обеим плоскостям: $ C_1 \in (DCC_1D_1) $ и $ C_1 \in (AB_1C_1) $. Значит, плоскость $ (AB_1C_1) $ пересекает плоскость $ (DCC_1D_1) $ по прямой, проходящей через $ C_1 $ и параллельной $ AB_1 $, то есть по прямой $ DC_1 $. Из этого следует, что точка $ D $ также принадлежит плоскости $ (AB_1C_1) $. Таким образом, плоскость $ (AB_1C_1) $ совпадает с плоскостью $ (ADC_1) $.

Задача сводится к построению сечения плоскостью $ \alpha $, проходящей через точку $ M $ и параллельной плоскости $ (ADC_1) $. Плоскость $ \alpha $ должна быть параллельна прямым $ AD $ и $ DC_1 $, лежащим в плоскости $ (ADC_1) $.

Выполним построение:
1. В плоскости нижнего основания $ (ABCD) $ через точку $ M $ проведем прямую, параллельную $ AD $. Она пересечет ребро $ AB $ в точке $ R $. Получим сторону сечения $ MR $, причем $ MR \parallel AD $.
2. В плоскости задней грани $ (DCC_1D_1) $ через точку $ M $ проведем прямую, параллельную диагонали $ DC_1 $. Она пересечет ребро $ CC_1 $ в точке $ P $. Получим сторону сечения $ MP $, причем $ MP \parallel DC_1 $.
3. Через точку $ P $ в плоскости боковой грани $ (BCC_1B_1) $ проведем прямую, параллельную $ AD $. Она пересечет ребро $ BB_1 $ в точке $ Q $. Получим сторону сечения $ PQ $, причем $ PQ \parallel AD $.
4. Соединим точки $ R $ и $ Q $. Так как $ MR \parallel PQ $ и $ MR = PQ = AD $, то четырехугольник $ MPQR $ — параллелограмм, и, следовательно, $ RQ \parallel MP $.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $ MPQR $, построенный указанным способом, вершины которого лежат на ребрах $ CD, CC_1, BB_1, AB $.

Найдите периметр построенного сечения, если CD = 12,5 см, CC₁ = 30 см, AD = 17 см

Периметр параллелограмма $ MPQR $ равен $ P_{MPQR} = 2 \cdot (MR + MP) $.

1. Найдем длину стороны $ MR $. По построению $ MR \parallel AD $. Так как $ M $ и $ R $ лежат на параллельных прямых $ CD $ и $ AB $, а $ MR $ перпендикулярен им (поскольку $ AD \perp CD $ в прямоугольнике основания), то $ MR $ равен расстоянию между этими прямыми, то есть $ MR = AD $. Из условия $ AD = 17 $ см, следовательно, $ MR = 17 $ см.

2. Найдем длину стороны $ MP $. По построению $ MP \parallel DC_1 $. В плоскости грани $ DCC_1D_1 $ рассмотрим треугольник $ \triangle CDC_1 $. Так как $ M \in CD $, $ P \in CC_1 $ и $ MP \parallel DC_1 $, то треугольник $ \triangle CMP $ подобен треугольнику $ \triangle CDC_1 $. Из подобия следует: $ \frac{MP}{DC_1} = \frac{CM}{CD} $.

Из условия $ CM : MD = 2 : 3 $ и $ CD = 12,5 $ см, найдем $ CM $: $ CM = \frac{2}{2+3} \cdot CD = \frac{2}{5} \cdot 12,5 = 5 $ см.

Найдем длину диагонали $ DC_1 $ из прямоугольного треугольника $ \triangle DCC_1 $ по теореме Пифагора: $ DC_1^2 = CD^2 + CC_1^2 = (12,5)^2 + 30^2 = 156,25 + 900 = 1056,25 $ см$^2$. $ DC_1 = \sqrt{1056,25} = 32,5 $ см.

Теперь из пропорции подобия найдем $ MP $: $ MP = DC_1 \cdot \frac{CM}{CD} = 32,5 \cdot \frac{5}{12,5} = 32,5 \cdot 0,4 = 13 $ см.

3. Вычислим периметр сечения: $ P_{MPQR} = 2 \cdot (MR + MP) = 2 \cdot (17 + 13) = 2 \cdot 30 = 60 $ см.

Ответ: 60 см.