Номер 61, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Трапеция $A_1 B_1 C_1 D_1$ — изображение трапеции $ABCD$, в которой $AB = BC = CD$, $BC < AD$. Постройте изображение центра окружности, касающейся боковых сторон и меньшего основания трапеции $ABCD$.

Для построения изображения центра искомой окружности воспользуемся свойствами исходной трапеции $ABCD$ и свойствами параллельного проектирования.

1. Анализ свойств трапеции и центра окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, касающейся боковых сторон $AB$, $CD$ и меньшего основания $BC$ трапеции $ABCD$.

• По определению, центр $O$ равноудален от прямых $AB$, $BC$ и $CD$.
• Из условия $AB = CD$ следует, что трапеция $ABCD$ равнобедренная. Центр $O$, будучи равноудаленным от боковых сторон $AB$ и $CD$, должен лежать на оси симметрии трапеции.
• Так как центр $O$ равноудален от сторон $AB$ и $BC$, он лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.
• Следовательно, точка $O$ является точкой пересечения оси симметрии трапеции и биссектрисы угла $\angle ABC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, противолежащей основанию, является также медианой. Таким образом, биссектриса угла $\angle ABC$ проходит через середину стороны $AC$.

2. Построение.

При параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину его образа, а прямые — в прямые. Это позволяет нам построить изображения оси симметрии и биссектрисы угла, а затем найти их пересечение.

Пусть дана трапеция $A_1B_1C_1D_1$ — изображение трапеции $ABCD$.

1. Построение изображения оси симметрии трапеции.
   Ось симметрии равнобедренной трапеции проходит через точку пересечения ее диагоналей и точку пересечения продолжений ее боковых сторон.
   а) Построим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ и найдем их точку пересечения $P_1$.
   б) Продлим боковые стороны $A_1B_1$ и $C_1D_1$ до их пересечения в точке $S_1$.
   в) Проведем прямую $S_1P_1$. Эта прямая является изображением оси симметрии трапеции $ABCD$.
2. Построение изображения биссектрисы угла $\angle ABC$.
   Как было показано выше, биссектриса угла $\angle ABC$ является медианой треугольника $\triangle ABC$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.
   а) Построим диагональ $A_1C_1$.
   б) Найдем середину $K_1$ отрезка $A_1C_1$. (Построение середины отрезка является стандартной задачей, которая решается с помощью циркуля и линейки или только линейки и построения параллельных прямых).
   в) Проведем прямую $B_1K_1$. Эта прямая является изображением биссектрисы угла $\angle ABC$.
3. Нахождение изображения центра окружности.
   Изображение центра окружности $O_1$ является точкой пересечения изображения оси симметрии (прямая $S_1P_1$) и изображения биссектрисы (прямая $B_1K_1$).
   Найдем точку $O_1 = S_1P_1 \cap B_1K_1$.

Точка $O_1$, полученная в результате описанных построений, является искомым изображением центра окружности, касающейся боковых сторон и меньшего основания трапеции $ABCD$.

Ответ: Искомая точка $O_1$ есть точка пересечения прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей $P_1$ и точку пересечения продолжений боковых сторон $S_1$ трапеции $A_1B_1C_1D_1$, и прямой, соединяющей вершину $B_1$ с серединой $K_1$ диагонали $A_1C_1$.