Номер 67, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Точки $E, F, M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$, $AC = 14 \text{ см}$, $BD = 6\sqrt{2} \text{ см}$, $ME = \sqrt{109} \text{ см}$. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $E$ — середина $AB$ и $F$ — середина $AD$, то отрезок $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $EF$ параллельна $BD$ и равна половине её длины:$EF \parallel BD$$EF = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $F$ — середина $AD$ и $M$ — середина $CD$, то отрезок $FM$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $FM$ параллельна $AC$ и равна половине её длины:$FM \parallel AC$$FM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Так как $EF \parallel BD$ и $FM \parallel AC$, то искомый угол $\alpha$ равен углу между прямыми $EF$ и $FM$. Этот угол равен $\angle EFM$ или $180^\circ - \angle EFM$.

Рассмотрим треугольник $EFM$. Нам известны длины всех трёх его сторон:$EF = 3\sqrt{2}$ см,$FM = 7$ см,$ME = \sqrt{109}$ см (по условию).

По теореме косинусов для треугольника $EFM$:$ME^2 = EF^2 + FM^2 - 2 \cdot EF \cdot FM \cdot \cos(\angle EFM)$

Подставим известные значения:$(\sqrt{109})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos(\angle EFM)$$109 = (9 \cdot 2) + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM)$$109 = 18 + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM)$$109 = 67 - 42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM)$

Выразим $\cos(\angle EFM)$:$42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM) = 67 - 109$$42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM) = -42$$\cos(\angle EFM) = \frac{-42}{42\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда находим угол $\angle EFM$:$\angle EFM = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$.

Угол между прямыми по определению является острым углом (или прямым), поэтому искомый угол $\alpha$ равен:$\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.