Номер 70, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Через точку M пересечения диагоналей прямоугольника ABCD проведена прямая SM, перпендикулярная его плоскости, и точка S соединена с серединой F стороны CD (рис. 22). Найдите отрезок SD, если $AB = 10$ см, $BC = 24$ см, $\angle MSF = 60^\circ$.

Рис. 22

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны: $CD = AB = 10$ см и $AD = BC = 24$ см. Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей и, следовательно, центром прямоугольника.

Точка $F$ — середина стороны $CD$. Отрезок $MF$, соединяющий центр прямоугольника с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне, и его длина равна половине длины смежной стороны $BC$. Таким образом, получаем:

$MF = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Согласно условию, прямая $SM$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $(ABC)$. Это означает, что $SM$ перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку $M$. В частности, $SM \perp MF$. Из этого следует, что треугольник $\triangle SMF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$ ($\angle SMF = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle SMF$ нам известен угол $\angle MSF = 60^\circ$ и длина катета $MF = 12$ см. Мы можем найти длину второго катета $SM$ с помощью тангенса:

$\tan(\angle MSF) = \frac{MF}{SM}$

$\tan(60^\circ) = \frac{12}{SM} \implies \sqrt{3} = \frac{12}{SM}$

$SM = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь необходимо найти длину отрезка $SD$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle SMD$. Так как прямая $SM$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна и отрезку $MD$, который лежит в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle SMD$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$ ($\angle SMD = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для $\triangle SMD$ имеем: $SD^2 = SM^2 + MD^2$.

Длина $MD$ — это половина диагонали $BD$ прямоугольника $ABCD$. Найдем длину диагонали $BD$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$

$BD = \sqrt{676} = 26$ см.

Следовательно, длина отрезка $MD$ равна:

$MD = \frac{1}{2} BD = \frac{26}{2} = 13$ см.

Подставим найденные значения $SM$ и $MD$ в формулу для $SD$:

$SD^2 = (4\sqrt{3})^2 + 13^2 = (16 \cdot 3) + 169 = 48 + 169 = 217$

$SD = \sqrt{217}$ см.

Ответ: $\sqrt{217}$ см.