Номер 87, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Из точки $T$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $TA$ и $TB$ и перпендикуляр $TO$, $TA = 6\sqrt{2}$ см, $OA = 2\sqrt{2}$ см, $AB = \sqrt{293}$ см, $\angle AOB = 135^\circ$. Найдите наклонную $TB$.

По условию, TO — перпендикуляр к плоскости α, а TA и TB — наклонные. Это означает, что отрезки OA и OB являются проекциями наклонных TA и TB на плоскость α соответственно. Так как TO перпендикулярен плоскости α, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку O. Следовательно, треугольники ΔTOA и ΔTOB являются прямоугольными с прямыми углами при вершине O.

Для нахождения длины наклонной TB, выполним следующие шаги:

1. Нахождение длины перпендикуляра TO

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔTOA (угол ∠TOA = 90°). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $TA^2 = TO^2 + OA^2$.

Выразим квадрат длины перпендикуляра TO:

$TO^2 = TA^2 - OA^2$

Подставим известные значения $TA = 6\sqrt{2}$ см и $OA = 2\sqrt{2}$ см:

$TO^2 = (6\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 2) - (4 \cdot 2) = 72 - 8 = 64$ см$^2$.

Отсюда, длина перпендикуляра $TO = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Нахождение длины проекции OB

Точки A, O и B лежат в плоскости α и образуют треугольник ΔAOB. Для нахождения длины стороны OB воспользуемся теоремой косинусов для стороны AB:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения: $AB = \sqrt{293}$ см, $OA = 2\sqrt{2}$ см, $\angle AOB = 135°$.

Предварительно найдем значение косинуса: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Пусть искомая длина $OB = x$. Подставляем все значения в формулу:

$(\sqrt{293})^2 = (2\sqrt{2})^2 + x^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot x \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$293 = 8 + x^2 + (2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot x$

$293 = 8 + x^2 + 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 4x + 8 - 293 = 0$

$x^2 + 4x - 285 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-285) = 16 + 1140 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 34}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 34}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, принимаем $x = 15$. Таким образом, $OB = 15$ см.

3. Нахождение длины наклонной TB

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔTOB (угол ∠TOB = 90°). По теореме Пифагора:

$TB^2 = TO^2 + OB^2$

Подставим найденные ранее значения $TO = 8$ см и $OB = 15$ см:

$TB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ см$^2$.

Найдем длину TB, извлекая квадратный корень:

$TB = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.