Номер 94, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $AC$, если $AB = AC = 10 \text{ см}, BC = 12 \text{ см}.

По условию задачи, прямая a проходит через вершину B и перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Прямые a и $AC$ являются скрещивающимися, так как одна из них перпендикулярна плоскости, а другая лежит в этой плоскости и не проходит через точку их пересечения (вершину B).

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. По определению высоты, $BH \perp AC$.

Так как прямая a перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Высота $BH$ лежит в плоскости $(ABC)$, следовательно, $a \perp BH$.

Таким образом, отрезок $BH$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым a и $AC$. Значит, длина высоты $BH$ и есть искомое расстояние между этими прямыми.

Найдем длину высоты $BH$ треугольника $ABC$.

Дано, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с $AB = AC = 10$ см и основанием $BC = 12$ см.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Сначала найдем площадь треугольника, проведя высоту $AM$ из вершины $A$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому $M$ — середина $BC$.

$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AM$:
$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание $AC$ и высоту $BH$, проведенную к этому основанию:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Подставим известные значения и найдем $BH$:
$48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BH$
$48 = 5 \cdot BH$
$BH = \frac{48}{5} = 9,6$ см.

Ответ: 9,6 см.