gdz.top
Номер 98, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Теорема о трёх перпендикулярах - номер 98, страница 18.
№97
№98 (с. 18)
Условие. №98 (с. 18)
Теорема о трёх перпендикулярах
98. На рисунке 28 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что прямая $AO$ перпендикулярна прямой $D_1C$.
Рис. 28
Решение. №98 (с. 18)
Решение 2. №98 (с. 18)
Для доказательства перпендикулярности прямых $AO$ и $D_1C$ воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах.
1. Рассмотрим плоскость грани $(DCC_1D_1)$. Прямая $D_1C$ полностью лежит в этой плоскости. Точка $O$ также принадлежит этой плоскости, так как является точкой пересечения диагоналей грани $DCC_1D_1$.
2. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является кубом, его рёбра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. В частности, ребро $AD$ перпендикулярно рёбрам $DC$ и $DD_1$. Прямые $DC$ и $DD_1$ пересекаются и лежат в плоскости $(DCC_1D_1)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро $AD$ перпендикулярно всей плоскости грани $(DCC_1D_1)$.
3. Таким образом, у нас есть:
- перпендикуляр $AD$ к плоскости $(DCC_1D_1)$;
- наклонная $AO$ к этой же плоскости;
- проекция наклонной $AO$ на плоскость $(DCC_1D_1)$, которой является отрезок $DO$.
4. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, наклонная $AO$ будет перпендикулярна прямой $D_1C$ (лежащей в плоскости), если её проекция $DO$ перпендикулярна этой прямой $D_1C$.
5. Проверим перпендикулярность $DO$ и $D_1C$. Грань $DCC_1D_1$ куба является квадратом. Точка $O$ — это точка пересечения диагоналей $DC_1$ и $D_1C$ этого квадрата. Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, $DC_1 \perp D_1C$. Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $DC_1$, то прямая $DO$ совпадает с прямой $DC_1$. Значит, $DO \perp D_1C$.
6. Так как проекция ($DO$) перпендикулярна прямой в плоскости ($D_1C$), то по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная ($AO$) перпендикулярна этой прямой ($D_1C$).
Следовательно, $AO \perp D_1C$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что прямая $AO$ перпендикулярна прямой $D_1C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 98 расположенного на странице 18 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №98 (с. 18), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.