Номер 102, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Через вершину прямого угла C треугольника ABC (рис. 30) проведён перпендикуляр DC к его плоскости длиной $n$. Найдите расстояние от точки D до прямой AB, если $AC = a$, $\angle B = \beta$.

Рис. 30

Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$, тогда искомое расстояние — это длина отрезка $DH$.

По условию, $DC$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$. Следовательно, $DC \perp (ABC)$. Отрезок $DH$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $CH$ — её проекцией на эту плоскость.

Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AB$), то и её проекция ($CH$) также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $CH \perp AB$. Это означает, что $CH$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, проведённой к гипотенузе $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Нам даны катет $AC = a$ и угол $\angle B = \beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle A = 90^\circ - \beta$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ ($\angle CHA = 90^\circ$). В нём известна гипотенуза $AC = a$ и угол $\angle A = 90^\circ - \beta$. Найдём катет $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle A) = a \cdot \sin(90^\circ - \beta)$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:
$CH = a \cos(\beta)$.

Так как $DC \perp (ABC)$, то $DC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, а значит $DC \perp CH$. Следовательно, треугольник $DCH$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В прямоугольном треугольнике $DCH$ нам известны катеты $DC = n$ и $CH = a \cos(\beta)$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $DH$:
$DH^2 = DC^2 + CH^2$
$DH^2 = n^2 + (a \cos(\beta))^2 = n^2 + a^2 \cos^2(\beta)$
$DH = \sqrt{n^2 + a^2 \cos^2(\beta)}$

Ответ: $\sqrt{n^2 + a^2 \cos^2(\beta)}$