Номер 103, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ к его плоскости проведён перпендикуляр $OM$ длиной 4 см. Найдите расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны параллелограмма, если $AB = 12$ см, $BC = 20$ см, $\angle BAD = 30^\circ$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, $O$ — точка пересечения его диагоналей, а $OM$ — перпендикуляр к плоскости параллелограмма.

По условию задачи имеем: $OM = 4$ см, $AB = CD = 12$ см, $BC = AD = 20$ см, и $\angle BAD = 30^\circ$. Требуется найти расстояния от точки $M$ до прямых, содержащих стороны параллелограмма.

Расстояние от точки в пространстве до прямой в плоскости, к которой из этой точки проведен перпендикуляр, находится с помощью теоремы о трех перпендикулярах. Пусть $OH_1$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на прямую $AB$. Тогда $OH_1$ является проекцией наклонной $MH_1$ на плоскость $(ABCD)$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция $OH_1$ перпендикулярна прямой $AB$, то и наклонная $MH_1$ также перпендикулярна прямой $AB$. Следовательно, длина отрезка $MH_1$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AB$.

Так как $OM \perp (ABCD)$, то треугольник $\triangle MOH_1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора, $MH_1^2 = OM^2 + OH_1^2$. Таким образом, для решения задачи нам нужно найти длины перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на стороны параллелограмма.

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром симметрии параллелограмма, поэтому расстояние от нее до любой стороны равно половине соответствующей высоты параллелограмма.

1. Найдем высоту параллелограмма, проведенную к стороне $AB$ (обозначим ее $h_{AB}$). Эта высота равна расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Проведем из вершины $D$ перпендикуляр $DK$ к прямой $AB$. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AD$, высотой $DK$ и отрезком на прямой $AB$, имеем:$h_{AB} = DK = AD \cdot \sin(\angle BAD) = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.Расстояние от точки $O$ до сторон $AB$ и $CD$ равно:$d(O, AB) = d(O, CD) = \frac{1}{2} h_{AB} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Найдем высоту параллелограмма, проведенную к стороне $AD$ (обозначим ее $h_{AD}$). Эта высота равна расстоянию между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Проведем из вершины $B$ перпендикуляр $BE$ к прямой $AD$. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AB$, высотой $BE$ и отрезком на прямой $AD$, имеем:$h_{AD} = BE = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.Расстояние от точки $O$ до сторон $AD$ и $BC$ равно:$d(O, AD) = d(O, BC) = \frac{1}{2} h_{AD} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь можем вычислить искомые расстояния от точки $M$.

Расстояние от точки $M$ до прямых $AB$ и $CD$ равно:$d(M, AB) = d(M, CD) = \sqrt{OM^2 + (d(O, AB))^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$ см.

Расстояние от точки $M$ до прямых $BC$ и $AD$ равно:$d(M, BC) = d(M, AD) = \sqrt{OM^2 + (d(O, BC))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны $AB$ и $CD$, равно $\sqrt{41}$ см; расстояние до прямых, содержащих стороны $BC$ и $AD$, равно $5$ см.