Номер 111, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Через центр $O$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 9 см проведен перпендикуляр $OM$ к его плоскости длиной 3 см. Найдите угол между прямой $MA$ и плоскостью треугольника.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. По условию, отрезок OM является перпендикуляром к плоскости треугольника ABC, опущенным из точки M. Точка O — основание этого перпендикуляра. Следовательно, отрезок OA является проекцией наклонной MA на плоскость (ABC). Таким образом, искомый угол — это угол между прямой MA и её проекцией OA, то есть $\angle MAO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAO$. Так как $OM \perp (ABC)$, то прямая OM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O. В частности, $OM \perp OA$. Это означает, что $\triangle MAO$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle MOA = 90^\circ$.

Для нахождения величины угла $\angle MAO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAO$ нам нужно знать длины его катетов OM и OA. Длина катета OM дана в условии: $OM = 3$ см.

Длину катета OA найдём из свойств правильного треугольника. Точка O — центр правильного треугольника ABC. Расстояние от центра правильного треугольника до его вершины равно радиусу R описанной около него окружности. Для правильного треугольника со стороной a радиус описанной окружности вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим в формулу значение стороны треугольника $a = 9$ см:$OA = R = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длины обоих катетов в прямоугольном треугольнике $\triangle MAO$ ($OM = 3$ см и $OA = 3\sqrt{3}$ см), мы можем найти тангенс угла $\angle MAO$:$\tan(\angle MAO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OM}{OA} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle MAO$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.