Страница 25 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 4 см, а диагональ призмы образует с боковой гранью угол $30^\circ$. Найдите высоту призмы и угол, который диагональ призмы образует с её основанием.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – квадратное основание. Сторона основания $a = AB = 4$ см. Обозначим высоту призмы $h = AA_1$.

Высота призмы

Рассмотрим диагональ призмы $AC_1$ и боковую грань $DCC_1D_1$. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

Поскольку призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $DCC_1D_1$, так как $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AD \perp DC$ (как стороны квадрата) и $AD \perp DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно основанию).

Значит, проекцией точки $A$ на плоскость $(DCC_1)$ является точка $D$. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $DCC_1D_1$ является отрезок $DC_1$.

Таким образом, угол между диагональю призмы $AC_1$ и боковой гранью $DCC_1D_1$ – это угол $\angle AC_1D$. По условию, $\angle AC_1D = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC_1$. Так как $AD \perp (DCC_1)$, то $AD \perp DC_1$, и треугольник $\triangle ADC_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle D$. Катет $AD$ равен стороне основания, то есть $AD = 4$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle ADC_1$ найдем длину отрезка $DC_1$: $ \tan(\angle AC_1D) = \frac{AD}{DC_1} $ $ \tan(30^\circ) = \frac{4}{DC_1} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{DC_1} \implies DC_1 = 4\sqrt{3} $ см.

Отрезок $DC_1$ является диагональю боковой грани $DCC_1D_1$. Эта грань – прямоугольник со сторонами $DC=4$ см и высотой призмы $h = CC_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle DCC_1$: $ DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 $ $ (4\sqrt{3})^2 = 4^2 + h^2 $ $ 16 \cdot 3 = 16 + h^2 $ $ 48 = 16 + h^2 $ $ h^2 = 32 $ $ h = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

Угол, который диагональ призмы образует с её основанием

Угол, который диагональ призмы $AC_1$ образует с её основанием $ABCD$, – это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией на плоскость основания.

Так как призма правильная, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, проекцией точки $C_1$ на плоскость основания является точка $C$, а проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания является диагональ основания $AC$.

Искомый угол – это угол $\angle C_1AC$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1AC$. Так как $CC_1 \perp (ABCD)$, то $CC_1 \perp AC$, и треугольник $\triangle C_1AC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle C$.

Найдём длины катетов этого треугольника. Высота призмы $h = CC_1 = 4\sqrt{2}$ см (найдена в предыдущем пункте). $AC$ – диагональ квадрата-основания со стороной $a=4$ см. По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $ см.

Теперь найдём тангенс угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1AC$: $ \tan(\alpha) = \frac{CC_1}{AC} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1 $ Следовательно, $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

152. Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 8 см, а высота призмы — 12 см.

Дана правильная треугольная призма. Это означает, что в основаниях лежат два равных правильных (равносторонних) треугольника, а боковые грани — равные прямоугольники.

Из условия задачи известны:

• Сторона основания (равностороннего треугольника) $a = 8$ см.
• Высота призмы $h = 12$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

Формула: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

1. Найдем периметр основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a=8$ см.

$P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 8 = 24$ см.

2. Теперь вычислим площадь боковой поверхности, используя высоту призмы $h = 12$ см.

$S_{бок} = 24 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 288 \text{ см}^2$.

Ответ: $288 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{осн}$).

Формула: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

1. Площадь боковой поверхности уже найдена: $S_{бок} = 288 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь одного основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a=8$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

3. Теперь вычислим площадь полной поверхности призмы.

$S_{полн} = 288 + 2 \cdot 16\sqrt{3} = 288 + 32\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Это точный ответ. Можно вынести общий множитель за скобки: $S_{полн} = 32(9 + \sqrt{3}) \text{ см}^2$.

Ответ: $(288 + 32\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

153. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и высотой, проведённой к нему, равной 3 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её высота равна 6 см.

Площадь полной поверхности прямой призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$):$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

1. Вычисление площади основания.
Основанием призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a = 8$ см и высотой $h_a = 3$ см, проведённой к этому основанию.Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется по формуле площади треугольника:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

2. Вычисление периметра основания.
Для нахождения площади боковой поверхности нам нужен периметр основания ($P_{осн}$). Периметр — это сумма длин всех сторон треугольника. У нас есть основание $a=8$ см, нужно найти длину двух равных боковых сторон, обозначим их $b$.Высота, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, является также медианой и делит основание пополам. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника с катетами: высота $h_a = 3$ см и половина основания $\frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Боковая сторона $b$ является гипотенузой.По теореме Пифагора:$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + h_a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$b = \sqrt{25} = 5$ см.Теперь вычисляем периметр основания:$P_{осн} = a + 2b = 8 + 2 \cdot 5 = 8 + 10 = 18$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту призмы ($H = 6$ см):$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 18 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 108 \text{ см}^2$.

4. Вычисление площади полной поверхности.
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности призмы, подставив найденные значения в исходную формулу:$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 \text{ см}^2 + 108 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2 + 108 \text{ см}^2 = 132 \text{ см}^2$.

Ответ: $132 \text{ см}^2$.

154. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 16 см и 30 см, а диагональ боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы используется формула $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы. Найдем эти величины по шагам.

1. Нахождение стороны и периметра основания (ромба)

Основанием призмы является ромб с диагоналями $d_1 = 16$ см и $d_2 = 30$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей:

$\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см

$\frac{d_2}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см

Сторона ромба $a$ является гипотенузой в этих треугольниках. Найдем ее по теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$a = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь найдем периметр ромба:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 17 = 68$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Призма является прямой, следовательно, ее боковые грани — прямоугольники, а высота $h$ равна боковому ребру. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани (гипотенуза), высотой призмы $h$ (противолежащий катет к углу $60^\circ$) и стороной основания $a$ (прилежащий катет). Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона ромба $a$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{a}$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = a \cdot \tan(60^\circ) = 17 \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности

Теперь, зная периметр основания и высоту призмы, мы можем вычислить площадь ее боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 68 \cdot 17\sqrt{3} = 1156\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $1156\sqrt{3}$ см$^2$.

155. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, если диагональ её боковой грани равна $m$ и образует с боковым ребром угол $\alpha$.

Правильная четырёхугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит квадрат. Её боковые грани являются равными прямоугольниками. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) такой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

Пусть сторона квадрата в основании призмы равна $a$, а высота призмы (длина её бокового ребра) равна $h$. Периметр основания $P_{осн} = 4a$. Тогда формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$.

Рассмотрим одну боковую грань. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этого прямоугольника, по условию, равна $m$. Эта диагональ вместе с боковым ребром ($h$) и стороной основания ($a$) образует прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:

• гипотенуза равна $m$ (диагональ грани);
• катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $h$ (боковое ребро);
• катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a$ (сторона основания).

Из определений синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике можем выразить катеты $a$ и $h$ через гипотенузу $m$ и угол $\alpha$:
$a = m \cdot \sin(\alpha)$
$h = m \cdot \cos(\alpha)$

Теперь подставим полученные выражения для $a$ и $h$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 4ah = 4 \cdot (m \sin(\alpha)) \cdot (m \cos(\alpha)) = 4m^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, можно упростить полученное выражение:
$S_{бок} = 2m^2 \cdot (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)) = 2m^2 \sin(2\alpha)$.

Ответ: $2m^2 \sin(2\alpha)$

156. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 8 см и 15 см и углом $60^\circ$. Площадь меньшего из диагональных сечений призмы равна $130 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1. Найдем диагонали параллелограмма, лежащего в основании призмы.
Пусть стороны параллелограмма $a = 8$ см и $b = 15$ см, а острый угол между ними $\alpha = 60^\circ$. В параллелограмме две диагонали. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла, а большая $d_2$ — напротив тупого угла ($180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$). Для нахождения длины меньшей диагонали $d_1$ воспользуемся теоремой косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
$d_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$
Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$d_1^2 = 64 + 225 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2}$
$d_1^2 = 289 - 120$
$d_1^2 = 169$
$d_1 = \sqrt{169} = 13$ см.

Меньшая диагональ основания равна 13 см.

2. Найдем высоту призмы.
Призма прямая, следовательно, ее диагональное сечение является прямоугольником. Стороны этого прямоугольника — диагональ основания и высота призмы $h$. Площадь меньшего диагонального сечения $S_{сеч}$ равна произведению меньшей диагонали основания $d_1$ на высоту призмы $h$.

$S_{сеч} = d_1 \cdot h$
По условию, $S_{сеч} = 130$ см². Подставим известные значения в формулу:

$130 = 13 \cdot h$
$h = \frac{130}{13} = 10$ см.

Высота призмы равна 10 см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Сначала найдем периметр параллелограмма в основании:

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(8+15) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, умножив периметр основания на высоту призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 46 \cdot 10 = 460$ см².

Ответ: 460 см².

157. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна $180\sqrt{3} \text{ см}^2$, а площадь полной поверхности — $288\sqrt{3} \text{ см}^2$. Найдите высоту призмы.

Обозначим площадь боковой поверхности призмы как $S_{бок}$, площадь полной поверхности как $S_{полн}$, площадь основания как $S_{осн}$, периметр основания как $P_{осн}$, сторону основания как $a$ и высоту призмы как $h$.

По условию задачи дано:

$S_{бок} = 180\sqrt{3} \text{ см}^2$

$S_{полн} = 288\sqrt{3} \text{ см}^2$

Площадь полной поверхности призмы является суммой площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Используя эту формулу, найдем площадь одного основания призмы:

$2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}$

$2S_{осн} = 288\sqrt{3} - 180\sqrt{3} = 108\sqrt{3} \text{ см}^2$

$S_{осн} = \frac{108\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3} \text{ см}^2$

Так как призма правильная шестиугольная, в ее основании лежит правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Теперь мы можем найти длину стороны основания $a$:

$54\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Разделим обе части уравнения на $3\sqrt{3}$:

$18 = \frac{1}{2}a^2$

$a^2 = 18 \cdot 2 = 36$

$a = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$

Периметр основания правильного шестиугольника равен:

$P_{осн} = 6a = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы (каковой является правильная призма) вычисляется как произведение периметра основания на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Из этой формулы выразим и найдем высоту призмы $h$:

$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}}$

$h = \frac{180\sqrt{3}}{36}$

Сократим дробь:

$h = 5\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

158. В правильной шестиугольной призме большая диагональ равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма. Обозначим большую диагональ призмы как $D$, высоту призмы как $H$, сторону основания как $a$, большую диагональ основания как $d$ и площадь боковой поверхности как $S_{бок}$.

По условию, большая диагональ призмы $D = 8$ см и образует с плоскостью основания угол $\alpha = 30°$.

Большая диагональ призмы $D$, её проекция на плоскость основания (которая является большой диагональю основания $d$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $D$ является гипотенузой, а $H$ и $d$ — катетами. Угол между диагональю призмы $D$ и диагональю основания $d$ равен $\alpha = 30°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем высоту $H$ и большую диагональ основания $d$:

$H = D \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$d = D \cdot \cos(\alpha) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник. Большая диагональ правильного шестиугольника связана с его стороной $a$ формулой $d = 2a$. Найдем сторону основания:

$4\sqrt{3} = 2a$

$a = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$.

Периметр правильного шестиугольника сo стороной $a$ равен:

$P_{осн} = 6a = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 12\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^2$.

159. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание которой равно 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Диагонали трапеции являются биссектрисами её острых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Для решения задачи разобьем ее на несколько этапов: сначала найдем все параметры основания призмы (трапеции), затем определим высоту призмы и, наконец, вычислим площадь ее боковой поверхности.

1. Нахождение параметров равнобокой трапеции в основании.

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $BC$ — меньшее основание. По условию, $BC = 8$ см, а острый угол при основании $\angle BAD = 60^\circ$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Следовательно, она делит его на два равных угла:

$\angle BAC = \angle CAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при секущей $AC$. Значит, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BC = 8$ см.

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = 8$ см.

Теперь найдем длину большего основания $AD$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$, прилежащий к углу $60^\circ$, равен:

$AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Так как трапеция равнобокая, то отрезок, отсекаемый высотой от другого конца большего основания, будет таким же. То есть, если провести высоту $CK$, то $KD = AH = 4$ см.

Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 8$ см.

$AD = 4 + 8 + 4 = 16$ см.

Периметр основания $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 16 = 40$ см.

Ответ: стороны трапеции равны 8 см, 8 см, 8 см и 16 см. Периметр основания призмы равен 40 см.

2. Нахождение высоты призмы.

Призма является прямой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны основанию и равны высоте призмы $H$. Пусть диагональ призмы — это $A'C$. Угол между диагональю призмы $A'C$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол $\angle A'CA$. По условию, $\angle A'CA = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A'AC$ (прямой угол $\angle A'AC$, так как призма прямая). В этом треугольнике катет $AA'$ — это высота призмы $H$, а катет $AC$ — это диагональ трапеции в основании.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$H = AA' = AC \cdot \text{tg}(\angle A'CA) = AC \cdot \text{tg}(30^\circ)$.

Найдем длину диагонали трапеции $AC$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ACD$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 16^2 + 8^2 - 2 \cdot 16 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 256 + 64 - 256 \cdot \frac{1}{2} = 320 - 128 = 192$.

$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти высоту призмы $H$:

$H = 8\sqrt{3} \cdot \text{tg}(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Ответ: высота призмы равна 8 см.

3. Вычисление площади боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P \cdot H$, где $P$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Из предыдущих пунктов нам известны обе величины:

$P = 40$ см,

$H = 8$ см.

Подставим значения в формулу:

$S_{бок} = 40 \cdot 8 = 320$ см$^2$.

Ответ: $320 \text{ см}^2$.