Номер 159, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание которой равно 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Диагонали трапеции являются биссектрисами её острых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Для решения задачи разобьем ее на несколько этапов: сначала найдем все параметры основания призмы (трапеции), затем определим высоту призмы и, наконец, вычислим площадь ее боковой поверхности.

1. Нахождение параметров равнобокой трапеции в основании.

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $BC$ — меньшее основание. По условию, $BC = 8$ см, а острый угол при основании $\angle BAD = 60^\circ$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Следовательно, она делит его на два равных угла:

$\angle BAC = \angle CAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при секущей $AC$. Значит, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = BC = 8$ см.

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = 8$ см.

Теперь найдем длину большего основания $AD$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$, прилежащий к углу $60^\circ$, равен:

$AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Так как трапеция равнобокая, то отрезок, отсекаемый высотой от другого конца большего основания, будет таким же. То есть, если провести высоту $CK$, то $KD = AH = 4$ см.

Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 8$ см.

$AD = 4 + 8 + 4 = 16$ см.

Периметр основания $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 16 = 40$ см.

Ответ: стороны трапеции равны 8 см, 8 см, 8 см и 16 см. Периметр основания призмы равен 40 см.

2. Нахождение высоты призмы.

Призма является прямой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны основанию и равны высоте призмы $H$. Пусть диагональ призмы — это $A'C$. Угол между диагональю призмы $A'C$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол $\angle A'CA$. По условию, $\angle A'CA = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A'AC$ (прямой угол $\angle A'AC$, так как призма прямая). В этом треугольнике катет $AA'$ — это высота призмы $H$, а катет $AC$ — это диагональ трапеции в основании.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$H = AA' = AC \cdot \text{tg}(\angle A'CA) = AC \cdot \text{tg}(30^\circ)$.

Найдем длину диагонали трапеции $AC$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ACD$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 16^2 + 8^2 - 2 \cdot 16 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 256 + 64 - 256 \cdot \frac{1}{2} = 320 - 128 = 192$.

$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти высоту призмы $H$:

$H = 8\sqrt{3} \cdot \text{tg}(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Ответ: высота призмы равна 8 см.

3. Вычисление площади боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P \cdot H$, где $P$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Из предыдущих пунктов нам известны обе величины:

$P = 40$ см,

$H = 8$ см.

Подставим значения в формулу:

$S_{бок} = 40 \cdot 8 = 320$ см$^2$.

Ответ: $320 \text{ см}^2$.