Номер 164, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб, $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $AA_1 = 3$ см. Через диагональ $AC$ нижнего основания и середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

Построение сечения

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — заданная прямая призма, где основание $ABCD$ — ромб. По условию задачи даны: сторона ромба $AB = 8$ см, диагональ ромба $AC = 12$ см, высота призмы $AA_1 = 3$ см.Секущая плоскость проходит через диагональ $AC$ нижнего основания и точку $M$ — середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания.Поскольку плоскости оснований призмы параллельны, то есть $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$, секущая плоскость пересечет плоскость верхнего основания по прямой, параллельной прямой $AC$.В плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную диагонали $A_1C_1$ (которая, в свою очередь, параллельна и равна $AC$). Эта прямая пересечет сторону $B_1C_1$. Так как $M$ — середина $A_1B_1$, то по теореме Фалеса (или рассматривая $\triangle A_1B_1C_1$) эта прямая пересечет сторону $B_1C_1$ в ее середине. Обозначим эту точку $N$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$.Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $AMNC$.

Определение вида сечения и его элементов

Так как по построению $MN \parallel AC$, четырехугольник $AMNC$ является трапецией.Найдем длины оснований этой трапеции:Большее основание $AC = 12$ см (дано по условию).Меньшее основание $MN$ — это средняя линия $\triangle A_1B_1C_1$. Длина диагонали верхнего основания $A_1C_1$ равна длине диагонали нижнего основания $AC$, то есть $A_1C_1 = 12$ см.Следовательно, $MN = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Теперь найдем длины боковых сторон трапеции $AM$ и $CN$.Призма является прямой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, $AA_1 \perp A_1B_1$. Это означает, что треугольник $AA_1M$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AA_1M$.Катет $AA_1 = 3$ см.Катет $A_1M$ равен половине стороны $A_1B_1$: $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.По теореме Пифагора для $\triangle AA_1M$:$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.$AM = \sqrt{25} = 5$ см.

Аналогично, ребро $CC_1 \perp C_1B_1$, значит, треугольник $CC_1N$ — прямоугольный с прямым углом $\angle CC_1N$.Катет $CC_1 = AA_1 = 3$ см.Катет $C_1N$ равен половине стороны $B_1C_1$: $C_1N = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.По теореме Пифагора для $\triangle CC_1N$:$CN^2 = CC_1^2 + C_1N^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.$CN = \sqrt{25} = 5$ см.

Поскольку боковые стороны трапеции равны ($AM = CN = 5$ см), трапеция $AMNC$ является равнобедренной.

Вычисление высоты трапеции

Для вычисления площади трапеции найдем ее высоту $h$. В равнобедренной трапеции высота — это отрезок, соединяющий середины оснований. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$ (и середина $AC$), а $K$ — середина отрезка $MN$. Тогда отрезок $OK$ является высотой трапеции $AMNC$.Найдем длину $OK$, используя метод проекций. Спроектируем отрезок $OK$ на плоскость нижнего основания $(ABC)$. Проекцией точки $O$ является сама точка $O$. Проекцией точки $K$ (середины $MN$) на плоскость $(ABC)$ будет точка $P$, которая является серединой проекции отрезка $MN$. Проекцией $MN$ является средняя линия $\triangle ABC$, соединяющая середины сторон $AB$ и $BC$. В $\triangle ABC$ медиана $BO$ пересекает эту среднюю линию в ее середине, точке $P$. Таким образом, точка $P$ — середина отрезка $BO$, и $OP = \frac{1}{2} BO$.

Найдем длину $BO$. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, поэтому $\triangle AOB$ — прямоугольный. $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Гипотенуза $AB = 8$ см.По теореме Пифагора:$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$.$BO = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.Тогда длина проекции $OP = \frac{1}{2} BO = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются проекция $OP$ и отрезок, равный высоте призмы, а гипотенузой — высота трапеции $OK$.$h^2 = OK^2 = OP^2 + (\text{высота призмы})^2 = (\sqrt{7})^2 + 3^2 = 7 + 9 = 16$.$h = OK = \sqrt{16} = 4$ см.

Вычисление площади сечения

Площадь трапеции $AMNC$ вычисляется по формуле:$S = \frac{AC + MN}{2} \cdot h$Подставляем найденные значения оснований и высоты:$S = \frac{12 + 6}{2} \cdot 4 = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$ см$^2$.

Ответ: $36$ см$^2$.