Номер 168, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $AB = AC = 10$ см, $BC = 16$ см. Боковое ребро $AA_1$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$, а проекцией вершины $A_1$ на плоскость $ABC$ является середина отрезка $BC$. Найдите площадь грани $BB_1 C_1 C$.

Пусть $M$ — середина отрезка $BC$. Поскольку основание призмы, треугольник $ABC$, является равнобедренным с $AB = AC$, то медиана $AM$, проведенная к основанию $BC$, также является и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$. Найдем длину медианы $AM$ из прямоугольного треугольника $AMB$. Катет $BM$ равен половине основания $BC$: $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{16}{2} = 8$ см. Гипотенуза $AB = 10$ см. По теореме Пифагора: $AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

По условию задачи, проекцией вершины $A_1$ на плоскость основания $(ABC)$ является точка $M$. Это означает, что отрезок $A_1M$ перпендикулярен плоскости основания, то есть $A_1M \perp (ABC)$. Проекцией бокового ребра (наклонной) $AA_1$ на плоскость основания является отрезок $AM$. Угол между боковым ребром и плоскостью основания по определению — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Таким образом, $\angle A_1AM = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1MA$ (с прямым углом $\angle A_1MA$). В этом треугольнике нам известен катет $AM = 6$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A_1AM = 30^\circ$. Длину бокового ребра $AA_1$, которое является гипотенузой этого треугольника, можно найти через косинус: $\cos(\angle A_1AM) = \frac{AM}{AA_1}$ $AA_1 = \frac{AM}{\cos(30^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Все боковые ребра призмы равны и параллельны, поэтому длина ребра $BB_1$ также равна $4\sqrt{3}$ см, то есть $BB_1 = AA_1 = 4\sqrt{3}$ см. Боковая грань $BB_1C_1C$ является параллелограммом со сторонами $BC = 16$ см и $BB_1 = 4\sqrt{3}$ см. Определим, является ли этот параллелограмм прямоугольником. Для этого проверим, перпендикулярны ли его смежные стороны $BC$ и $BB_1$. Мы знаем, что $A_1M \perp (ABC)$, а значит $A_1M \perp BC$. Также мы установили, что $AM \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AM$ и $A_1M$) в плоскости $(A_1MA)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(A_1MA)$. Боковое ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(A_1MA)$, следовательно, $BC \perp AA_1$. Так как боковые ребра призмы параллельны ($BB_1 \parallel AA_1$), то из $BC \perp AA_1$ следует, что $BC \perp BB_1$. Это означает, что параллелограмм $BB_1C_1C$ на самом деле является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $BB_1C_1C$ равна произведению длин его смежных сторон: $S_{BB_1C_1C} = BC \cdot BB_1 = 16 \cdot 4\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см$^2$.