Номер 161, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8 см, а острый угол — $30^\circ$. Через катет треугольника, лежащий против угла $30^\circ$, проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если угол между плоскостью её основания и плоскостью сечения равен $60^\circ$.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$. По условию, гипотенуза $AB = 8$ см, а один из острых углов равен $30°$. Пусть $\angle B = 30°$, тогда $\angle C = 90°$.

Найдем катеты треугольника $ABC$. Катет $AC$, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы:
$AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Второй катет $BC$ найдем через косинус угла $B$:
$BC = AB \cdot \cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь основания призмы (треугольника $ABC$) равна половине произведения катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².

По условию, через катет, лежащий против угла $30°$ (то есть через катет $AC$), проведена плоскость, пересекающая боковое ребро (пусть это будет ребро $BB_1$ в точке $D$). Образовавшееся сечение — это треугольник $ADC$.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Это означает, что треугольник $ABC$ является ортогональной проекцией сечения (треугольника $ADC$) на плоскость основания.

Площадь ортогональной проекции фигуры ($S_{пр}$) связана с площадью самой фигуры ($S_{сеч}$) через косинус угла ($\alpha$) между их плоскостями по формуле:
$S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$.

В нашем случае $S_{пр} = S_{ABC}$, $S_{сеч} = S_{ADC}$, а угол между плоскостью основания и плоскостью сечения по условию равен $\alpha = 60°$.

Отсюда мы можем выразить и найти площадь сечения $S_{ADC}$:
$S_{ADC} = \frac{S_{ABC}}{\cos(60°)}$.

Подставим известные значения:
$S_{ADC} = \frac{8\sqrt{3}}{1/2} = 8\sqrt{3} \cdot 2 = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².