Номер 156, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Призма. Вариант 1. Упражнения - номер 156, страница 25.

Условие.

156. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 8 см и 15 см и углом $60^\circ$. Площадь меньшего из диагональных сечений призмы равна $130 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Решение 2.

1. Найдем диагонали параллелограмма, лежащего в основании призмы.
Пусть стороны параллелограмма $a = 8$ см и $b = 15$ см, а острый угол между ними $\alpha = 60^\circ$. В параллелограмме две диагонали. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла, а большая $d_2$ — напротив тупого угла ($180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$). Для нахождения длины меньшей диагонали $d_1$ воспользуемся теоремой косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
$d_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$
Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$d_1^2 = 64 + 225 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2}$
$d_1^2 = 289 - 120$
$d_1^2 = 169$
$d_1 = \sqrt{169} = 13$ см.

Меньшая диагональ основания равна 13 см.

2. Найдем высоту призмы.
Призма прямая, следовательно, ее диагональное сечение является прямоугольником. Стороны этого прямоугольника — диагональ основания и высота призмы $h$. Площадь меньшего диагонального сечения $S_{сеч}$ равна произведению меньшей диагонали основания $d_1$ на высоту призмы $h$.

$S_{сеч} = d_1 \cdot h$
По условию, $S_{сеч} = 130$ см². Подставим известные значения в формулу:

$130 = 13 \cdot h$
$h = \frac{130}{13} = 10$ см.

Высота призмы равна 10 см.

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Сначала найдем периметр параллелограмма в основании:

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(8+15) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, умножив периметр основания на высоту призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 46 \cdot 10 = 460$ см².

Ответ: 460 см².