Номер 151, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 4 см, а диагональ призмы образует с боковой гранью угол $30^\circ$. Найдите высоту призмы и угол, который диагональ призмы образует с её основанием.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – квадратное основание. Сторона основания $a = AB = 4$ см. Обозначим высоту призмы $h = AA_1$.

Высота призмы

Рассмотрим диагональ призмы $AC_1$ и боковую грань $DCC_1D_1$. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

Поскольку призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $DCC_1D_1$, так как $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AD \perp DC$ (как стороны квадрата) и $AD \perp DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно основанию).

Значит, проекцией точки $A$ на плоскость $(DCC_1)$ является точка $D$. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $DCC_1D_1$ является отрезок $DC_1$.

Таким образом, угол между диагональю призмы $AC_1$ и боковой гранью $DCC_1D_1$ – это угол $\angle AC_1D$. По условию, $\angle AC_1D = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC_1$. Так как $AD \perp (DCC_1)$, то $AD \perp DC_1$, и треугольник $\triangle ADC_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle D$. Катет $AD$ равен стороне основания, то есть $AD = 4$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle ADC_1$ найдем длину отрезка $DC_1$: $ \tan(\angle AC_1D) = \frac{AD}{DC_1} $ $ \tan(30^\circ) = \frac{4}{DC_1} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{DC_1} \implies DC_1 = 4\sqrt{3} $ см.

Отрезок $DC_1$ является диагональю боковой грани $DCC_1D_1$. Эта грань – прямоугольник со сторонами $DC=4$ см и высотой призмы $h = CC_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle DCC_1$: $ DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 $ $ (4\sqrt{3})^2 = 4^2 + h^2 $ $ 16 \cdot 3 = 16 + h^2 $ $ 48 = 16 + h^2 $ $ h^2 = 32 $ $ h = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

Угол, который диагональ призмы образует с её основанием

Угол, который диагональ призмы $AC_1$ образует с её основанием $ABCD$, – это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией на плоскость основания.

Так как призма правильная, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, проекцией точки $C_1$ на плоскость основания является точка $C$, а проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания является диагональ основания $AC$.

Искомый угол – это угол $\angle C_1AC$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1AC$. Так как $CC_1 \perp (ABCD)$, то $CC_1 \perp AC$, и треугольник $\triangle C_1AC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle C$.

Найдём длины катетов этого треугольника. Высота призмы $h = CC_1 = 4\sqrt{2}$ см (найдена в предыдущем пункте). $AC$ – диагональ квадрата-основания со стороной $a=4$ см. По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $ см.

Теперь найдём тангенс угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1AC$: $ \tan(\alpha) = \frac{CC_1}{AC} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1 $ Следовательно, $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.