Номер 144, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна $42 \text{ см}^2$. Он является ортогональной проекцией треугольника $ABC$ со сторонами 7 см, 17 см и 18 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника. Площадь проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Тогда:$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$

Из этой формулы мы можем выразить косинус угла:$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ дана в условии: $S_{A_1B_1C_1} = 42 \text{ см}^2$.Нам необходимо найти площадь треугольника $ABC$.

1. Нахождение площади треугольника $ABC$

Так как известны длины всех сторон треугольника $ABC$ ($a = 7$ см, $b = 17$ см, $c = 18$ см), его площадь можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+17+18}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:$S_{ABC} = \sqrt{21(21-7)(21-17)(21-18)}$$S_{ABC} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 4 \cdot 3}$Разложим числа под корнем на простые множители для удобства вычисления:$S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2^2) \cdot 3} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2}$$S_{ABC} = (2 \cdot 3 \cdot 7)\sqrt{2} = 42\sqrt{2} \text{ см}^2$.

2. Нахождение угла между плоскостями

Теперь, зная площади обоих треугольников, можем найти косинус угла между их плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{42}{42\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель:$\cos(\alpha) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Углом между плоскостями считается острый угол. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.