gdz.top
Номер 142, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Площадь ортогональной проекции многоугольника - номер 142, страница 24.
№141
№142 (с. 24)
Условие. №142 (с. 24)
142. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с гипотенузой 10 см и катетом 8 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $24\sqrt{2}$ см2.
Решение. №142 (с. 24)
Решение 2. №142 (с. 24)
Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$, а площадь его ортогональной проекции, треугольника $A_1B_1C_1$, как $S_{A_1B_1C_1}$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью его проекции обозначим как $\phi$.
Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью исходной фигуры следующей формулой: $S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\phi)$
Из этой формулы можно выразить косинус угла между плоскостями: $\cos(\phi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$
По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ составляет $S_{ABC} = 24\sqrt{2}$ см2.
Теперь необходимо найти площадь проекции — прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$. Нам известны его гипотенуза $c_1 = 10$ см и один из катетов $a_1 = 8$ см.
Для нахождения второго катета $b_1$ воспользуемся теоремой Пифагора: $a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$. $b_1 = \sqrt{c_1^2 - a_1^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot b_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см2.
Теперь мы можем вычислить косинус искомого угла $\phi$: $\cos(\phi) = \frac{24}{24\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Рационализируем знаменатель: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $\cos(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $45^\circ$. Следовательно, угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 142 расположенного на странице 24 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №142 (с. 24), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.