Номер 136, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Концы отрезка, длина которого равна 13 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 8 см и 5 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов данного отрезка к линии пересечения плоскостей.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — две данные перпендикулярные плоскости, а $l$ — линия их пересечения. Обозначим данный отрезок как $AB$, где точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $B$ — плоскости $\beta$. По условию, длина отрезка $AB = 13$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть $A'$ — основание перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к линии $l$. Тогда $A' \in l$, $AA' \perp l$, и отрезок $AA'$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $A$ до линии $l$, то есть $AA' = 8$ см.

Аналогично, пусть $B'$ — основание перпендикуляра, проведенного из точки $B$ к линии $l$. Тогда $B' \in l$, $BB' \perp l$, и отрезок $BB'$ целиком лежит в плоскости $\beta$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до линии $l$, то есть $BB' = 5$ см.

Искомое расстояние — это длина отрезка $A'B'$.

Рассмотрим пространственную фигуру. Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$, а прямая $AA'$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии их пересечения $l$, то по свойству перпендикулярных плоскостей прямая $AA'$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$.

Поскольку прямая $AA'$ перпендикулярна плоскости $\beta$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через ее точку пересечения с плоскостью (точку $A'$). Прямая $A'B$ лежит в плоскости $\beta$ (так как обе точки, $A'$ и $B$, принадлежат плоскости $\beta$). Следовательно, $AA' \perp A'B$. Это означает, что треугольник $\triangle AA'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle AA'B$ имеем:

$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle A'B'B$. Он полностью лежит в плоскости $\beta$. По построению, $BB'$ — перпендикуляр к прямой $l$, на которой лежит отрезок $A'B'$. Таким образом, угол $\angle A'B'B$ является прямым, и треугольник $\triangle A'B'B$ также прямоугольный.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle A'B'B$ имеем:

$A'B^2 = A'B'^2 + BB'^2$

Теперь подставим выражение для $A'B^2$ из второго уравнения в первое:

$AB^2 = AA'^2 + (A'B'^2 + BB'^2)$

$AB^2 = AA'^2 + BB'^2 + A'B'^2$

Это соотношение является пространственным аналогом теоремы Пифагора для прямоугольного параллелепипеда, где $AB$ — диагональ, а $AA'$, $BB'$ и $A'B'$ — длины ребер, выходящих из одной вершины.

Подставим известные значения в полученную формулу:

$13^2 = 8^2 + 5^2 + A'B'^2$

$169 = 64 + 25 + A'B'^2$

$169 = 89 + A'B'^2$

$A'B'^2 = 169 - 89$

$A'B'^2 = 80$

$A'B' = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см.