Номер 139, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Плоскости прямоугольников $ABCD$ и $ABEF$ перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми $DE$ и $AB$, если $AF = 8$ см, $BC = 15$ см (рис. 32).

Поскольку ABCD и ABEF — прямоугольники, их общая сторона AB перпендикулярна сторонам AD и AF. Так как плоскости прямоугольников (ABCD) и (ABEF) перпендикулярны, а прямая AD лежит в плоскости (ABCD) и перпендикулярна линии их пересечения AB, то прямая AD перпендикулярна всей плоскости (ABEF). Отсюда следует, что AD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой AF. Таким образом, треугольник ADF является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Прямые DE и AB являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем это расстояние методом проекций.

Спроецируем прямую DE на плоскость, перпендикулярную прямой AB. Так как $AD \perp AB$ и $AF \perp AB$, то плоскость (ADF) перпендикулярна прямой AB. Прямая AB пересекает эту плоскость в точке A.

Найдем проекцию прямой DE на плоскость (ADF).
1. Точка D принадлежит плоскости (ADF), следовательно, ее проекцией является сама точка D.
2. Так как ABEF — прямоугольник, то $FE \parallel AB$. Поскольку $AB \perp (ADF)$, то и параллельная ей прямая $FE \perp (ADF)$. Это означает, что F является ортогональной проекцией точки E на плоскость (ADF).

Таким образом, проекцией прямой DE на плоскость (ADF) является прямая DF. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DF в плоскости (ADF). Это расстояние равно длине высоты AH, проведенной из вершины прямого угла A к гипотенузе DF в прямоугольном треугольнике ADF.

Найдем длины сторон треугольника ADF:
Из прямоугольника ABCD имеем $AD = BC = 15$ см.
Из условия известно, что $AF = 8$ см.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADF найдем гипотенузу DF:
$DF = \sqrt{AD^2 + AF^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см.

Высота AH, проведенная к гипотенузе, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD \cdot AF}{DF}$.
Подставим известные значения:
$AH = \frac{15 \cdot 8}{17} = \frac{120}{17}$ см.

Ответ: $\frac{120}{17}$ см.