Номер 134, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Точка $S$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$, точка $O$ — центр этого треугольника. Докажите, что плоскость $SOC$ перпендикулярна плоскости $ASB$.

Дано: $△ABC$ — равносторонний, $O$ — центр $△ABC$, $SA = SB = SC$.
Доказать: $(SOC) ⊥ (ASB)$.

Доказательство:

1. Поскольку точка $S$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$ ($SA = SB = SC$), ее проекция на плоскость $(ABC)$ совпадает с центром описанной около $△ABC$ окружности. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром треугольника $O$. Следовательно, прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

2. Для доказательства перпендикулярности плоскостей $(SOC)$ и $(ASB)$ воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей. Если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Докажем, что прямая $AB$, которая принадлежит плоскости $(ASB)$, перпендикулярна плоскости $(SOC)$.

3. Чтобы доказать, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(SOC)$, необходимо показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Такими прямыми являются $SO$ и $OC$.
а) Так как $SO ⊥ (ABC)$, а прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, $SO ⊥ AB$.
б) В равностороннем треугольнике $ABC$ центр $O$ лежит на высоте (и медиане) $CM$, проведенной к стороне $AB$. Следовательно, $CM ⊥ AB$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $CM$, то прямая $OC$ является частью прямой $CM$, а значит $OC ⊥ AB$.

4. Мы установили, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SO$ и $OC$ из плоскости $(SOC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, отсюда следует, что $AB ⊥ (SOC)$.

5. Плоскость $(ASB)$ проходит через прямую $AB$, а прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(SOC)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, $(ASB) ⊥ (SOC)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.