Номер 131, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание $AB$. Плоскости этих треугольников перпендикулярны. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если $AB = 24$ см, $AC = 13$ см, $AD = \sqrt{219}$ см.

Поскольку треугольники $ABC$ и $ABD$ равнобедренные с общим основанием $AB$, их высоты, проведенные к основанию, совпадают со медианами. Проведем эти высоты из вершин $C$ и $D$ к основанию $AB$. Пусть $H$ — середина отрезка $AB$. Тогда $CH$ — высота и медиана треугольника $ABC$, а $DH$ — высота и медиана треугольника $ABD$.

Из этого следует, что $CH \perp AB$ и $DH \perp AB$.

Так как плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ перпендикулярны, а $CH$ и $DH$ — перпендикуляры к их общей линии пересечения $AB$, проведенные в этих плоскостях, то угол между этими высотами $\angle CHD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями и равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $CHD$ — прямоугольный.

Расстояние между точками $C$ и $D$ — это длина гипотенузы $CD$ в прямоугольном треугольнике $CHD$. Для ее нахождения нужно найти длины катетов $CH$ и $DH$.

1. Найдем длину высоты $CH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (где $\angle AHC = 90^\circ$). Катет $AH$ равен половине основания $AB$:

$AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Гипотенуза $AC = 13$ см. По теореме Пифагора найдем катет $CH$:

$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$CH = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Найдем длину высоты $DH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$ (где $\angle AHD = 90^\circ$). Катет $AH$ также равен 12 см. Гипотенуза $AD = \sqrt{219}$ см. По теореме Пифагора найдем катет $DH$:

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = (\sqrt{219})^2 - 12^2 = 219 - 144 = 75$

3. Найдем расстояние $CD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ (где $\angle CHD = 90^\circ$). Мы нашли его катеты: $CH = 5$ см и $DH^2 = 75$ см$^2$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $CD$:

$CD^2 = CH^2 + DH^2 = 25 + 75 = 100$

$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.