Номер 128, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1. Двугранный угол. Угол между плоскостями - номер 128, страница 22.

Условие.

128. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Из точек $A$ и $B$, лежащих в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно, проведены перпендикуляры $AC = 5$ см и $BD = 8$ см к прямой $c$. Расстояние между точками $C$ и $D$ равно $24$ см, $AB = 25$ см. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По определению, это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке.

Введем векторы, соответствующие отрезкам из условия: $\vec{AC}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DB}$. Вектор, соединяющий точки $A$ и $B$, можно представить как сумму этих трех векторов, образующих ломаную линию от $A$ до $B$:

$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}$

Найдем квадрат длины вектора $\vec{AB}$, который равен квадрату расстояния $AB$. Для этого возведем векторное равенство в скалярный квадрат:

$AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}) \cdot (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB})$

Раскроем скобки по правилам скалярного произведения:

$AB^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DB}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD} + \vec{AC} \cdot \vec{DB} + \vec{CD} \cdot \vec{DB})$

По условию задачи, отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны прямой $c$. Вектор $\vec{CD}$ лежит на прямой $c$. Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ перпендикулярны вектору $\vec{CD}$, а значит, их скалярные произведения равны нулю:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = 0$

$\vec{CD} \cdot \vec{DB} = 0$

С учетом этого уравнение упрощается:

$AB^2 = AC^2 + CD^2 + BD^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB})$

Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ выражается через их длины и угол $\theta$ между ними: $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = AC \cdot BD \cdot \cos\theta$.

Подставим в уравнение известные из условия длины отрезков:

$AC = 5$ см, $BD = 8$ см, $CD = 24$ см, $AB = 25$ см.

$25^2 = 5^2 + 24^2 + 8^2 + 2(5 \cdot 8 \cdot \cos\theta)$

Выполним вычисления:

$625 = 25 + 576 + 64 + 80\cos\theta$

$625 = 665 + 80\cos\theta$

Выразим $80\cos\theta$:

$80\cos\theta = 625 - 665$

$80\cos\theta = -40$

Отсюда находим косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$:

$\cos\theta = -\frac{40}{80} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ составляет $\theta = \arccos(-1/2) = 120^\circ$.

Угол $\phi$ между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ — это угол между прямыми, на которых лежат перпендикуляры $AC$ и $BD$. Угол между прямыми по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если угол между направляющими векторами прямых равен $\theta$, то угол между прямыми равен $\min(\theta, 180^\circ - \theta)$.

$\phi = \min(120^\circ, 180^\circ - 120^\circ) = \min(120^\circ, 60^\circ) = 60^\circ$.

Следовательно, угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.