Номер 128, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Двугранный угол. Угол между плоскостями. Вариант 1. Упражнения - номер 128, страница 22.
№128 (с. 22)
Условие. №128 (с. 22)
скриншот условия

128. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Из точек $A$ и $B$, лежащих в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно, проведены перпендикуляры $AC = 5$ см и $BD = 8$ см к прямой $c$. Расстояние между точками $C$ и $D$ равно $24$ см, $AB = 25$ см. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
Решение. №128 (с. 22)

Решение 2. №128 (с. 22)
Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По определению, это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке.
Введем векторы, соответствующие отрезкам из условия: $\vec{AC}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DB}$. Вектор, соединяющий точки $A$ и $B$, можно представить как сумму этих трех векторов, образующих ломаную линию от $A$ до $B$:
$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}$
Найдем квадрат длины вектора $\vec{AB}$, который равен квадрату расстояния $AB$. Для этого возведем векторное равенство в скалярный квадрат:
$AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}) \cdot (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB})$
Раскроем скобки по правилам скалярного произведения:
$AB^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DB}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD} + \vec{AC} \cdot \vec{DB} + \vec{CD} \cdot \vec{DB})$
По условию задачи, отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны прямой $c$. Вектор $\vec{CD}$ лежит на прямой $c$. Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ перпендикулярны вектору $\vec{CD}$, а значит, их скалярные произведения равны нулю:
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = 0$
$\vec{CD} \cdot \vec{DB} = 0$
С учетом этого уравнение упрощается:
$AB^2 = AC^2 + CD^2 + BD^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB})$
Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ выражается через их длины и угол $\theta$ между ними: $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = AC \cdot BD \cdot \cos\theta$.
Подставим в уравнение известные из условия длины отрезков:
$AC = 5$ см, $BD = 8$ см, $CD = 24$ см, $AB = 25$ см.
$25^2 = 5^2 + 24^2 + 8^2 + 2(5 \cdot 8 \cdot \cos\theta)$
Выполним вычисления:
$625 = 25 + 576 + 64 + 80\cos\theta$
$625 = 665 + 80\cos\theta$
Выразим $80\cos\theta$:
$80\cos\theta = 625 - 665$
$80\cos\theta = -40$
Отсюда находим косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$:
$\cos\theta = -\frac{40}{80} = -\frac{1}{2}$
Таким образом, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ составляет $\theta = \arccos(-1/2) = 120^\circ$.
Угол $\phi$ между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ — это угол между прямыми, на которых лежат перпендикуляры $AC$ и $BD$. Угол между прямыми по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если угол между направляющими векторами прямых равен $\theta$, то угол между прямыми равен $\min(\theta, 180^\circ - \theta)$.
$\phi = \min(120^\circ, 180^\circ - 120^\circ) = \min(120^\circ, 60^\circ) = 60^\circ$.
Следовательно, угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 128 расположенного на странице 22 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №128 (с. 22), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.