Номер 125, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $DBC$ имеют общее основание $BC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $DBC$, если $AB = 2\sqrt{21}$ см, $AD = 2\sqrt{15}$ см, $\angle BDC = 90^\circ$, $BC = 12$ см.

Угол между плоскостями (ABC) и (DBC) — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями, с ребром BC. Для нахождения этого угла построим его. Пусть M — середина общего основания BC.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, его медиана AM является также и высотой, то есть $AM \perp BC$. Аналогично, так как треугольник DBC равнобедренный с основанием BC, его медиана DM также является высотой, то есть $DM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle AMD$ является искомым линейным углом двугранного угла.

Для вычисления величины угла $\angle AMD$ найдем длины сторон треугольника AMD.

Рассмотрим $\triangle DBC$. По условию он является равнобедренным ($DB=DC$) и прямоугольным ($\angle BDC = 90^\circ$). Его гипотенуза $BC = 12$ см. DM — медиана, проведенная к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Следовательно, $DM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Он равнобедренный с основанием $BC=12$ см и боковыми сторонами $AB = AC = 2\sqrt{21}$ см. AM — его высота, а M — середина BC, поэтому $BM = \frac{1}{2}BC = 6$ см. Из прямоугольного треугольника AMB ($\angle AMB = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $AM^2 = AB^2 - BM^2 = (2\sqrt{21})^2 - 6^2 = (4 \cdot 21) - 36 = 84 - 36 = 48$. Отсюда $AM = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, когда известны все стороны $\triangle AMD$ ($AM = 4\sqrt{3}$ см, $DM = 6$ см, и $AD = 2\sqrt{15}$ см по условию), применим к нему теорему косинусов для нахождения угла $\angle AMD$:
$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\angle AMD)$
$(2\sqrt{15})^2 = (4\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 6 \cdot \cos(\angle AMD)$
$60 = 48 + 36 - 48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD)$
$60 = 84 - 48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD)$
$48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD) = 84 - 60$
$48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD) = 24$
$\cos(\angle AMD) = \frac{24}{48\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$.