Номер 121, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Из точек $M$ и $K$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $60^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $MM_1$ и $KK_1$ длиной 3 см и 8 см соответственно. Найдите отрезок $MK$, если $M_1K_1 = \sqrt{15}$ см.

Пусть дан двугранный угол с ребром $a$ и гранями $\alpha$ и $\beta$. Угол между гранями составляет $60^\circ$. В грани $\alpha$ лежит точка $M$, а в грани $\beta$ — точка $K$. Из этих точек опущены перпендикуляры на ребро $a$: $MM_1$ и $KK_1$. По условию, длины этих перпендикуляров равны $MM_1 = 3$ см и $KK_1 = 8$ см. Расстояние между основаниями перпендикуляров на ребре составляет $M_1K_1 = \sqrt{15}$ см. Необходимо найти расстояние между точками $M$ и $K$.

Решение:

Для нахождения расстояния $MK$ применим метод пространственных построений. Выполним параллельный перенос отрезка $MM_1$ вдоль ребра $a$ на вектор $\vec{M_1K_1}$. В результате этого переноса точка $M_1$ отобразится в точку $K_1$, а точка $M$ — в некоторую новую точку $M'$. При этом образуется прямоугольник $M_1K_1M'M$, из свойств которого следует, что $M'K_1 = MM_1 = 3$ см и $MM' = M_1K_1 = \sqrt{15}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $M'K_1K$. Отрезки $M'K_1$ и $KK_1$ перпендикулярны ребру $a$ в одной и той же точке $K_1$. Это означает, что угол между ними, $\angle M'K_1K$, является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle M'K_1K = 60^\circ$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов, чтобы найти длину стороны $M'K$:

$M'K^2 = (M'K_1)^2 + (KK_1)^2 - 2 \cdot M'K_1 \cdot KK_1 \cdot \cos(60^\circ)$

$M'K^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49$

Отсюда $M'K = \sqrt{49} = 7$ см.

Далее рассмотрим треугольник $MM'K$. Отрезок $MM'$ параллелен ребру $a$ по построению. Отрезок $M'K$ лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $a$ (в плоскости треугольника $M'K_1K$). Следовательно, $MM' \perp M'K$, и треугольник $MM'K$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M'$.

По теореме Пифагора для треугольника $MM'K$ найдем искомую длину $MK$:

$MK^2 = MM'^2 + M'K^2$

$MK^2 = (\sqrt{15})^2 + 7^2 = 15 + 49 = 64$

$MK = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.