Номер 130, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Точка $M$ равноудалена от вершин квадрата $ABCD$.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ равен $\alpha$.

Найдите угол между плоскостями $MAB$ и $ABC$.

Пусть O - центр квадрата ABCD, который является точкой пересечения его диагоналей. Так как точка M равноудалена от всех вершин квадрата (MA = MB = MC = MD), ее проекция на плоскость квадрата ABC совпадает с центром описанной около квадрата окружности, то есть с точкой O. Это означает, что отрезок MO перпендикулярен плоскости (ABC).

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Проекцией наклонной MA на плоскость (ABC) является отрезок OA. Следовательно, по условию задачи, угол между прямой MA и плоскостью ABC есть угол ∠MAO, и он равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MОA (∠MOA = 90°, так как MO ⊥ (ABC)). В этом треугольнике мы можем выразить высоту MO через OA и угол $\alpha$:
$MO = OA \cdot \tan(\angle MAO) = OA \cdot \tan(\alpha)$.

Искомый угол между плоскостями MAB и ABC - это двугранный угол при ребре AB. Для его измерения построим соответствующий линейный угол.

В плоскости MAB проведем высоту MK к стороне AB. Так как треугольник MAB является равнобедренным (MA = MB), его высота MK также является медианой, и точка K — середина отрезка AB. Таким образом, $MK \perp AB$.

В плоскости квадрата ABC проведем отрезок OK. Так как O — центр квадрата, а K — середина стороны AB, то отрезок OK перпендикулярен стороне AB, то есть $OK \perp AB$.

Поскольку прямые MK и OK перпендикулярны общей прямой AB и проходят через одну точку K, угол ∠MKO является линейным углом двугранного угла между плоскостями MAB и ABC. Обозначим этот искомый угол через $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MOK (∠MOK = 90°, так как MO перпендикулярен плоскости ABC и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, в том числе OK). В этом треугольнике тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\beta) = \tan(\angle MKO) = \frac{MO}{OK}$.

Для нахождения этого отношения введем сторону квадрата ABCD, пусть ее длина равна $a$. Тогда:
1. OA — это половина диагонали квадрата. Длина диагонали $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$, следовательно, $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
2. OK — это расстояние от центра квадрата до его стороны, которое равно половине стороны квадрата: $OK = \frac{a}{2}$.

Теперь выразим MO через $a$ и $\alpha$:
$MO = OA \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$.

Подставим полученные выражения для MO и OK в формулу для тангенса угла $\beta$:
$\tan(\beta) = \frac{MO}{OK} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2} \tan(\alpha)$.

Отсюда, искомый угол $\beta$ равен арктангенсу полученного выражения.

Ответ: $\arctan(\sqrt{2} \tan(\alpha))$.