Номер 133, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Точка $E$ равноудалена от сторон квадрата $ABCD$. Докажите, что плоскости $AEC$ и $BED$ перпендикулярны.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как точка $O$ является центром квадрата, она равноудалена от всех его сторон. По условию, точка $E$ также равноудалена от сторон квадрата. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от сторон квадрата, — это прямая, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр. Следовательно, проекция точки $E$ на плоскость $(ABCD)$ совпадает с точкой $O$, а это означает, что прямая $EO$ перпендикулярна плоскости квадрата: $EO \perp (ABCD)$.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей $(AEC)$ и $(BED)$ воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей. Если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Докажем, что прямая $BD$, лежащая в плоскости $(BED)$, перпендикулярна плоскости $(AEC)$.

Для того чтобы доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(AEC)$, нужно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $BD \perp AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $(AEC)$ по определению.

2. Так как прямая $EO \perp (ABCD)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABCD)$, следовательно, $EO \perp BD$. Прямая $EO$ также лежит в плоскости $(AEC)$, так как точки $E$ и $O$ (лежащая на $AC$) принадлежат этой плоскости.

Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $O$ прямым $AC$ и $EO$, которые лежат в плоскости $(AEC)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BD \perp (AEC)$.

Поскольку плоскость $(BED)$ проходит через прямую $BD$, а прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(AEC)$, то плоскости $(BED)$ и $(AEC)$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.