Номер 138, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Прямоугольник $ABCD$ перегнули по диагонали $AC$ так, что плоскости $ABC$ и $ACD$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками $B$ и $D$ в новом положении, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Рис. 32

Решение:
Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = CD = 6$ см и $BC = AD = 8$ см.
Прямоугольник был перегнут по диагонали $AC$. Найдем длину этой диагонали по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ (или $ADC$):
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
После перегиба плоскости, содержащие треугольники $ABC$ и $ACD$, стали взаимно перпендикулярны. Для нахождения расстояния между точками $B$ и $D$ в новом положении удобнее всего воспользоваться методом координат.

1. Введем трехмерную декартову систему координат. Поместим точку $A$ в начало координат, $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль диагонали $AC$. Так как длина $AC = 10$, точка $C$ будет иметь координаты $C(10,0,0)$.

2. По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ACD)$ перпендикулярны. Линией их пересечения является общая диагональ $AC$, которую мы расположили на оси $Ox$. Мы можем разместить эти плоскости в координатных плоскостях. Пусть плоскость $(ACD)$ совпадает с плоскостью $Oxy$ (координатная плоскость, где $z=0$), а плоскость $(ABC)$ совпадает с плоскостью $Oxz$ (координатная плоскость, где $y=0$). Это удовлетворяет условию их перпендикулярности.

3. Найдем координаты точки $D$. Точка $D$ лежит в плоскости $Oxy$, поэтому ее координаты $D(x_D, y_D, 0)$. Мы знаем длины отрезков $AD=8$ и $CD=6$. Используя формулу расстояния между точками, составим систему уравнений:
$AD^2 = (x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 = x_D^2 + y_D^2 = 8^2 = 64$
$CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 = (x_D - 10)^2 + y_D^2 = 6^2 = 36$
Раскроем скобки во втором уравнении: $x_D^2 - 20x_D + 100 + y_D^2 = 36$.
Подставим $x_D^2 + y_D^2 = 64$ в это уравнение: $64 - 20x_D + 100 = 36$.
$164 - 20x_D = 36 \implies 20x_D = 128 \implies x_D = 6.4$.
Теперь найдем $y_D$: $y_D^2 = 64 - x_D^2 = 64 - (6.4)^2 = 64 - 40.96 = 23.04$. Отсюда $y_D = \sqrt{23.04} = 4.8$.
Итак, координаты точки $D(6.4, 4.8, 0)$.

4. Найдем координаты точки $B$. Точка $B$ лежит в плоскости $Oxz$, поэтому ее координаты $B(x_B, 0, z_B)$. Мы знаем длины отрезков $AB=6$ и $CB=8$. Составим аналогичную систему:
$AB^2 = x_B^2 + z_B^2 = 6^2 = 36$
$CB^2 = (x_B - 10)^2 + z_B^2 = 8^2 = 64$
Решая эту систему (аналогично предыдущему пункту), получаем: $36 - 20x_B + 100 = 64 \implies 20x_B = 72 \implies x_B = 3.6$.
Теперь найдем $z_B$: $z_B^2 = 36 - x_B^2 = 36 - (3.6)^2 = 36 - 12.96 = 23.04$. Отсюда $z_B = \sqrt{23.04} = 4.8$.
Итак, координаты точки $B(3.6, 0, 4.8)$.

5. Теперь, зная координаты точек $B$ и $D$, найдем искомое расстояние $BD$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
$BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2 + (z_D - z_B)^2}$
$BD = \sqrt{(6.4 - 3.6)^2 + (4.8 - 0)^2 + (0 - 4.8)^2}$
$BD = \sqrt{2.8^2 + 4.8^2 + (-4.8)^2} = \sqrt{7.84 + 23.04 + 23.04} = \sqrt{53.92}$ см.

Ответ: $\sqrt{53.92}$ см.