Номер 149, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $60^\circ$ и стороной 8 см. Найдите диагонали призмы, если её боковое ребро равно 4 см.

Пусть основанием прямой призмы является ромб со стороной $a = 8$ см и острым углом $60^\circ$. Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру, то есть $h = 4$ см. Чтобы найти диагонали призмы, сначала нужно определить длины диагоналей ромба, лежащего в основании.

1. Нахождение диагоналей основания (ромба)

Пусть $d_1$ — меньшая диагональ ромба, а $d_2$ — большая.

Меньшая диагональ $d_1$ соединяет вершины с острыми углами. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Этот треугольник равнобедренный (две стороны равны $8$ см), а угол между ними равен $60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Таким образом, меньшая диагональ ромба равна его стороне:$d_1 = 8$ см.

Большая диагональ $d_2$ соединяет вершины с тупыми углами. Тупой угол ромба равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Для нахождения $d_2$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и большей диагональю:$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$$d_2^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 64 + 64 + 64 = 192$$d_2 = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение диагоналей призмы

Призма является прямой, значит, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Каждая диагональ призмы ($D$) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катетами служат соответствующая диагональ основания ($d$) и высота призмы ($h$).

Найдем первую диагональ призмы $D_1$, соответствующую меньшей диагонали основания $d_1$:$D_1^2 = d_1^2 + h^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$$D_1 = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Найдем вторую диагональ призмы $D_2$, соответствующую большей диагонали основания $d_2$:$D_2^2 = d_2^2 + h^2 = (8\sqrt{3})^2 + 4^2 = 192 + 16 = 208$$D_2 = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см и $4\sqrt{13}$ см.