Страница 24 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с гипотенузой 10 см и катетом 8 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $24\sqrt{2}$ см².

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$, а площадь его ортогональной проекции, треугольника $A_1B_1C_1$, как $S_{A_1B_1C_1}$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью его проекции обозначим как $\phi$.

Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью исходной фигуры следующей формулой: $S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\phi)$

Из этой формулы можно выразить косинус угла между плоскостями: $\cos(\phi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ составляет $S_{ABC} = 24\sqrt{2}$ см².

Теперь необходимо найти площадь проекции — прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$. Нам известны его гипотенуза $c_1 = 10$ см и один из катетов $a_1 = 8$ см.

Для нахождения второго катета $b_1$ воспользуемся теоремой Пифагора: $a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$. $b_1 = \sqrt{c_1^2 - a_1^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot b_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².

Теперь мы можем вычислить косинус искомого угла $\phi$: $\cos(\phi) = \frac{24}{24\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $\cos(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $45^\circ$. Следовательно, угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

143. Площадь четырёхугольника равна $126 \text{ см}^2$. Его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является прямоугольник, одна из сторон которого равна $9 \text{ см}$. Найдите неизвестную сторону прямоугольника, если угол между плоскостью данного четырёхугольника и плоскостью его проекции равен $60^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей площадь плоской фигуры и площадь её ортогональной проекции на другую плоскость.

Площадь ортогональной проекции ($S_{пр}$) фигуры равна произведению площади самой фигуры ($S$) на косинус угла ($\alpha$) между плоскостью фигуры и плоскостью проекции:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

По условию задачи нам дано:

• Площадь исходного четырёхугольника $S = 126$ см².
• Угол между плоскостью четырёхугольника и плоскостью проекции $\alpha = 60°$.
• Проекцией является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a = 9$ см.

1. Найдём площадь проекции (прямоугольника).

Подставим известные значения в формулу:

$S_{пр} = 126 \cdot \cos(60°)$

Значение косинуса 60° равно $\frac{1}{2}$.

$S_{пр} = 126 \cdot \frac{1}{2} = 63$ см².

Таким образом, площадь прямоугольника, который является проекцией, составляет 63 см².

2. Найдём неизвестную сторону прямоугольника.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Обозначим известную сторону как $a$, а неизвестную — как $b$.

$S_{пр} = a \cdot b$

Мы знаем, что $S_{пр} = 63$ см² и $a = 9$ см. Подставим эти значения в формулу и найдём $b$:

$63 = 9 \cdot b$

$b = \frac{63}{9}$

$b = 7$ см.

Ответ: 7 см.

144. Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна $42 \text{ см}^2$. Он является ортогональной проекцией треугольника $ABC$ со сторонами 7 см, 17 см и 18 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника. Площадь проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Тогда:$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$

Из этой формулы мы можем выразить косинус угла:$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ дана в условии: $S_{A_1B_1C_1} = 42 \text{ см}^2$.Нам необходимо найти площадь треугольника $ABC$.

1. Нахождение площади треугольника $ABC$

Так как известны длины всех сторон треугольника $ABC$ ($a = 7$ см, $b = 17$ см, $c = 18$ см), его площадь можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+17+18}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:$S_{ABC} = \sqrt{21(21-7)(21-17)(21-18)}$$S_{ABC} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 4 \cdot 3}$Разложим числа под корнем на простые множители для удобства вычисления:$S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2^2) \cdot 3} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2}$$S_{ABC} = (2 \cdot 3 \cdot 7)\sqrt{2} = 42\sqrt{2} \text{ см}^2$.

2. Нахождение угла между плоскостями

Теперь, зная площади обоих треугольников, можем найти косинус угла между их плоскостями:$\cos(\alpha) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{42}{42\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель:$\cos(\alpha) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Углом между плоскостями считается острый угол. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

145. Площадь трапеции равна $48\sqrt{3}\text{ см}^2$, а её ортогональная проекция на плоскость $\alpha$ — равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 20 см и боковой стороной 10 см. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью данной трапеции.

Пусть $S$ - площадь данной трапеции, а $S_{пр}$ - площадь ее ортогональной проекции на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ обозначим как $\theta$.

Согласно условию, площадь исходной трапеции равна $S = 48\sqrt{3}$ см².

Ортогональная проекция является равнобокой трапецией с основаниями $a = 4$ см, $b = 20$ см и боковой стороной $c = 10$ см. Для нахождения ее площади $S_{пр}$ сначала необходимо вычислить высоту $h$.

В равнобокой трапеции, если провести высоты из вершин меньшего основания к большему, они отсекут на большем основании два равных отрезка. Длина каждого из этих отрезков вычисляется как полуразность оснований:
$x = \frac{b-a}{2} = \frac{20-4}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота $h$, боковая сторона $c$ и отрезок $x$ образуют прямоугольный треугольник, где $c$ — гипотенуза, а $h$ и $x$ — катеты. По теореме Пифагора:
$h^2 + x^2 = c^2$
$h^2 + 8^2 = 10^2$
$h^2 + 64 = 100$
$h^2 = 100 - 64 = 36$
$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь найдем площадь трапеции-проекции по формуле:
$S_{пр} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{4+20}{2} \cdot 6 = \frac{24}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$ см².

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость связана с площадью самого многоугольника и углом $\theta$ между их плоскостями соотношением:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\theta)$

Выразим из этой формулы $\cos(\theta)$ и подставим известные значения:
$\cos(\theta) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{72}{48\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение, сократив дробь на 24:
$\cos(\theta) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos(\theta) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.
$\theta = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Призма

146. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей:

1) 5 граней;

2) 36 рёбер?

Пусть в основании призмы лежит многоугольник с n сторонами (n-угольник). Такая призма называется n-угольной.

Для любой n-угольной призмы количество граней и рёбер можно определить по следующим формулам:

• Количество граней (F): призма имеет 2 основания (верхнее и нижнее) и n боковых граней. Таким образом, общее число граней равно $F = n + 2$.
• Количество рёбер (E): призма имеет n рёбер в верхнем основании, n рёбер в нижнем основании и n боковых рёбер, соединяющих вершины оснований. Таким образом, общее число рёбер равно $E = 3n$.

Используя эти формулы, найдём, какой многоугольник лежит в основании призмы для каждого из случаев.

1) Призма имеет 5 граней

Нам известно, что общее число граней $F = 5$. Подставим это значение в формулу для количества граней:

$F = n + 2$
$5 = n + 2$

Решим уравнение относительно n:

$n = 5 - 2$
$n = 3$

Так как $n = 3$, в основании призмы лежит многоугольник с тремя сторонами, то есть треугольник. Такая призма называется треугольной.

Ответ: треугольник.

2) Призма имеет 36 рёбер

Нам известно, что общее число рёбер $E = 36$. Подставим это значение в формулу для количества рёбер:

$E = 3n$
$36 = 3n$

Решим уравнение относительно n:

$n = \frac{36}{3}$
$n = 12$

Так как $n = 12$, в основании призмы лежит многоугольник с двенадцатью сторонами, то есть двенадцатиугольник.

Ответ: двенадцатиугольник.

147. Существует ли призма, имеющая 16 рёбер?

Пусть в основании призмы лежит многоугольник с $n$ сторонами. Число сторон $n$ должно быть целым и не меньшим трёх ($n \ge 3$). У такой $n$-угольной призмы есть два основания (верхнее и нижнее), каждое из которых имеет по $n$ рёбер, а также $n$ боковых рёбер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Следовательно, общее количество рёбер $E$ призмы равно сумме рёбер двух оснований и боковых рёбер: $E = n + n + n = 3n$. Эта формула показывает, что общее число рёбер любой призмы всегда должно быть кратно трём. В задаче спрашивается о существовании призмы с 16 рёбрами. Проверим, делится ли число 16 на 3. Поскольку $16$ не делится нацело на $3$ ($16 = 3 \cdot 5 + 1$), то не существует такого целого числа $n$, при котором выполнялось бы равенство $3n = 16$. Поэтому призма, имеющая 16 рёбер, не может существовать.
Ответ: нет, не существует.

148. Основанием прямой призмы является прямоугольник, меньшая сторона которого равна 6 см, а угол между диагоналями — $60^\circ$. Найдите диагональ призмы, если её боковое ребро равно 5 см.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольник $ABCD$, а её боковое ребро (высота) равно $h$. По условию задачи, меньшая сторона основания равна 6 см, а боковое ребро $h = 5$ см.

Рассмотрим основание призмы — прямоугольник $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, поэтому $AO = BO = CO = DO$.

Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Это означает, что один из углов, образованных при пересечении диагоналей (например, $\angle AOB$), равен $60^\circ$, а смежный с ним угол ($\angle BOC$) равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В прямоугольнике меньшая сторона лежит напротив меньшего угла между диагоналями. Пусть меньшая сторона это $AB = 6$ см. Тогда в треугольнике $\triangle AOB$ угол $\angle AOB = 60^\circ$.

Так как $AO = BO$, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным. Поскольку один из его углов равен $60^\circ$, то и два других угла при основании равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним.

Из этого следует, что $AO = BO = AB = 6$ см.

Длина диагонали основания $d_{осн}$ равна удвоенной длине отрезка $AO$: $d_{осн} = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь найдем диагональ призмы $D$. Для прямой призмы диагональ призмы, диагональ её основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали призмы равен сумме квадратов диагонали основания и высоты призмы (бокового ребра).

$D^2 = d_{осн}^2 + h^2$

Подставим известные значения $d_{осн} = 12$ см и $h = 5$ см:

$D^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$D = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

149. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $60^\circ$ и стороной 8 см. Найдите диагонали призмы, если её боковое ребро равно 4 см.

Пусть основанием прямой призмы является ромб со стороной $a = 8$ см и острым углом $60^\circ$. Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру, то есть $h = 4$ см. Чтобы найти диагонали призмы, сначала нужно определить длины диагоналей ромба, лежащего в основании.

1. Нахождение диагоналей основания (ромба)

Пусть $d_1$ — меньшая диагональ ромба, а $d_2$ — большая.

Меньшая диагональ $d_1$ соединяет вершины с острыми углами. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Этот треугольник равнобедренный (две стороны равны $8$ см), а угол между ними равен $60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Таким образом, меньшая диагональ ромба равна его стороне:$d_1 = 8$ см.

Большая диагональ $d_2$ соединяет вершины с тупыми углами. Тупой угол ромба равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Для нахождения $d_2$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и большей диагональю:$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$$d_2^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 64 + 64 + 64 = 192$$d_2 = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение диагоналей призмы

Призма является прямой, значит, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Каждая диагональ призмы ($D$) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катетами служат соответствующая диагональ основания ($d$) и высота призмы ($h$).

Найдем первую диагональ призмы $D_1$, соответствующую меньшей диагонали основания $d_1$:$D_1^2 = d_1^2 + h^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$$D_1 = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Найдем вторую диагональ призмы $D_2$, соответствующую большей диагонали основания $d_2$:$D_2^2 = d_2^2 + h^2 = (8\sqrt{3})^2 + 4^2 = 192 + 16 = 208$$D_2 = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см и $4\sqrt{13}$ см.

150. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 12 см и 18 см, а высота — 3 см. Найдите двугранные углы призмы при её боковых рёбрах.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что боковые грани являются прямоугольниками и также перпендикулярны основаниям. Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему внутреннему углу многоугольника, лежащего в основании. Таким образом, задача сводится к нахождению внутренних углов равнобокой трапеции, которая является основанием призмы.

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD = 18$ см, $BC = 12$ см, а высота трапеции $h = 3$ см.

Для нахождения углов трапеции проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем катет $BH$ равен высоте трапеции ($3$ см), и мы нашли, что катет $AH$ также равен $3$ см. Найдем тангенс угла $\angle A$:

$\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} = \frac{3}{3} = 1$

Отсюда следует, что угол $\angle A = 45^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при другом конце большего основания также равен $45^\circ$:

$\angle D = \angle A = 45^\circ$

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Так как трапеция равнобокая, $\angle C = \angle B = 135^\circ$.

Таким образом, углы основания трапеции равны $45^\circ$, $135^\circ$, $135^\circ$ и $45^\circ$. Соответственно, двугранные углы призмы при её боковых рёбрах равны этим углам.

Ответ: два угла по $45^\circ$ и два угла по $135^\circ$.