Номер 154, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 16 см и 30 см, а диагональ боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы используется формула $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы. Найдем эти величины по шагам.

1. Нахождение стороны и периметра основания (ромба)

Основанием призмы является ромб с диагоналями $d_1 = 16$ см и $d_2 = 30$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей:

$\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см

$\frac{d_2}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см

Сторона ромба $a$ является гипотенузой в этих треугольниках. Найдем ее по теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$a = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь найдем периметр ромба:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 17 = 68$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Призма является прямой, следовательно, ее боковые грани — прямоугольники, а высота $h$ равна боковому ребру. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани (гипотенуза), высотой призмы $h$ (противолежащий катет к углу $60^\circ$) и стороной основания $a$ (прилежащий катет). Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона ромба $a$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{a}$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = a \cdot \tan(60^\circ) = 17 \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности

Теперь, зная периметр основания и высоту призмы, мы можем вычислить площадь ее боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 68 \cdot 17\sqrt{3} = 1156\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $1156\sqrt{3}$ см$^2$.