Номер 162, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Призма. Вариант 1. Упражнения - номер 162, страница 26.

Условие.

162. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 4 см, а её высота — 8 см. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

Решение.

Решение 2.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание призмы $ABCD$ — это квадрат со стороной $a = 4$ см. Высота призмы $H = AA_1 = 8$ см.

Необходимо найти площадь сечения, которое проходит через диагональ основания, например $BD$, и параллельно диагонали призмы, которая не пересекает $BD$. Такой диагональю является, например, $A_1C$ (другой вариант — $AC_1$, оба приводят к одинаковому результату из-за симметрии).

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — плоскость искомого сечения. По условию, прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$, и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $A_1C$.

Рассмотрим диагональную плоскость $AA_1C_1C$. В этой плоскости лежат диагональ призмы $A_1C$ и диагональ основания $AC$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$.

Так как прямая $BD$ лежит в сечении, а точка $O$ лежит на $BD$, то точка $O$ принадлежит плоскости сечения. Плоскость сечения $\alpha$ пересекается с плоскостью $AA_1C_1C$ по некоторой прямой. Эта прямая проходит через их общую точку $O$.

По свойству параллельности прямой и плоскости: если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($A_1C$), то линия пересечения этой плоскости с любой другой плоскостью ($AA_1C_1C$), содержащей данную прямую, будет параллельна этой прямой.

Следовательно, линия пересечения плоскости сечения $\alpha$ и плоскости $AA_1C_1C$ проходит через точку $O$ и параллельна прямой $A_1C$.

Рассмотрим треугольник $AA_1C$. В нём точка $O$ является серединой стороны $AC$. Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией. Значит, эта линия пересекает сторону $AA_1$ в её середине. Обозначим эту точку $L$.

Таким образом, точка $L$ — середина ребра $AA_1$ — принадлежит плоскости сечения. Сечение проходит через три точки: $B$, $D$ и $L$. Отрезки $BD$, $DL$ и $LB$ лежат на гранях призмы (на основании $ABCD$ и боковых гранях $ADD_1A_1$ и $ABB_1A_1$ соответственно). Следовательно, искомое сечение — это треугольник $BDL$.

Нахождение площади сечения

Для нахождения площади сечения вычислим длины сторон треугольника $BDL$.

1. Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=4$ см. По теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Сторона $DL$. Точка $L$ — середина ребра $AA_1$, длина которого равна высоте $H=8$ см. Значит, $AL = \frac{1}{2} H = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, а значит и ребру $AD$. Таким образом, треугольник $ADL$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $DL = \sqrt{AD^2 + AL^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Сторона $BL$. Аналогично, треугольник $ABL$ — прямоугольный ($AA_1 \perp AB$). $AB=4$ см, $AL=4$ см. По теореме Пифагора: $BL = \sqrt{AB^2 + AL^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Все стороны треугольника $BDL$ равны $4\sqrt{2}$ см. Это означает, что сечение является равносторонним треугольником.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим в формулу значение стороны $s = 4\sqrt{2}$ см: $S_{BDL} = \frac{(4\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см$^2$.