Номер 171, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 10 см, 9 см и 1 см.

Пусть $d$ — длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, а $a$, $b$ и $c$ — его измерения (длина, ширина и высота).

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Это соотношение выражается формулой:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Согласно условию задачи, диагональ больше его измерений на 10 см, 9 см и 1 см. Запишем эти условия в виде уравнений:

$d = a + 10$
$d = b + 9$
$d = c + 1$

Выразим измерения $a$, $b$ и $c$ через диагональ $d$:

$a = d - 10$
$b = d - 9$
$c = d - 1$

Подставим полученные выражения в основную формулу для квадрата диагонали:

$d^2 = (d - 10)^2 + (d - 9)^2 + (d - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$d^2 = (d^2 - 2 \cdot d \cdot 10 + 10^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 9 + 9^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 1 + 1^2)$

$d^2 = (d^2 - 20d + 100) + (d^2 - 18d + 81) + (d^2 - 2d + 1)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$d^2 = (d^2+d^2+d^2) + (-20d-18d-2d) + (100+81+1)$

$d^2 = 3d^2 - 40d + 182$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3d^2 - d^2 - 40d + 182 = 0$

$2d^2 - 40d + 182 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$d^2 - 20d + 91 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36$

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{36}}{2} = \frac{20 + 6}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{36}}{2} = \frac{20 - 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Мы получили два возможных значения для диагонали. Теперь необходимо проверить, соответствуют ли они условию задачи. Измерения параллелепипеда $a, b, c$ должны быть положительными числами.

Проверим корень $d = 7$. В этом случае измерение $a = d - 10 = 7 - 10 = -3$ см. Так как длина стороны не может быть отрицательной, это значение не является решением задачи.

Проверим корень $d = 13$. Найдем соответствующие измерения:

$a = 13 - 10 = 3$ см
$b = 13 - 9 = 4$ см
$c = 13 - 1 = 12$ см

Все измерения имеют положительные значения, следовательно, это решение является верным.

Ответ: 13 см.