Номер 37, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания четырёхугольной призмы прямой, проходящей через две точки, одна из которых принадлежит боковому ребру призмы, а другая — боковой грани, которой это ребро не принадлежит.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью основания призмы воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Пусть дана четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Согласно условию, одна точка, назовем её $M$, принадлежит боковому ребру, например $AA_1$. Вторая точка, $N$, принадлежит боковой грани, которой ребро $AA_1$ не принадлежит, например, грани $BCC_1B_1$. Требуется построить точку $P$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

Алгоритм построения следующий:

1. Построение вспомогательной плоскости. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо заключить эту прямую во вспомогательную плоскость. Проведём через точку $N$ прямую, параллельную боковым рёбрам призмы (например, $BB_1$). Эта прямая будет лежать в плоскости грани $(BCC_1B_1)$. Найдём точку её пересечения с плоскостью нижнего основания. Эта точка, обозначим её $N_0$, будет лежать на ребре $BC$.

2. Определение вспомогательной плоскости. Прямые $AA_1$ и $NN_0$ параллельны по построению. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Так как $M \in AA_1$ и $N \in NN_0$, то вся прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.

3. Нахождение следа вспомогательной плоскости. Теперь найдём прямую, по которой вспомогательная плоскость $\alpha$ пересекается с плоскостью нижнего основания $(ABC)$. Эта прямая называется следом плоскости $\alpha$ на плоскости $(ABC)$. Для её построения достаточно найти две общие точки этих плоскостей.

   • Первая общая точка — $A$. Она принадлежит ребру $AA_1$, а значит, и плоскости $\alpha$. Также она является вершиной нижнего основания, поэтому $A \in (ABC)$.
   • Вторая общая точка — $N_0$. Она принадлежит прямой $NN_0$, а значит, и плоскости $\alpha$. По построению, $N_0 \in BC$, поэтому $N_0 \in (ABC)$.

   Следовательно, прямая $AN_0$ является следом плоскости $\alpha$ на плоскости $(ABC)$.

4. Построение искомой точки. Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$. Поскольку прямая $MN$ полностью лежит во вспомогательной плоскости $\alpha$, её точка пересечения с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $AN_0$. Таким образом, точка $P$ является точкой пересечения двух прямых: $MN$ и $AN_0$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$, поэтому они пересекутся (за исключением случая, когда они параллельны, что означало бы параллельность прямой $MN$ плоскости основания).

5. Строим прямую $MN$ и прямую $AN_0$. Точка их пересечения и есть искомая точка $P$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ и прямой $AN_0$, где $A$ — вершина нижнего основания, принадлежащая ребру с точкой $M$, а $N_0$ — точка пересечения с плоскостью нижнего основания прямой, проведённой через точку $N$ параллельно боковым рёбрам призмы.