Номер 28, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. Точка $M$ не принадлежит плоскости параллелограмма $ABCD$.

Докажите, что прямая $AD$ параллельна плоскости $MCB$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны по определению параллельны. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Это можно записать как $AD \parallel BC$.

Плоскость $MCB$ определяется тремя точками $M$, $C$ и $B$. Значит, прямая $BC$, проходящая через две из этих точек, целиком лежит в данной плоскости. Это можно записать как $BC \subset (MCB)$.

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

В нашем случае мы имеем прямую $AD$ и плоскость $(MCB)$. Мы установили, что $AD \parallel BC$ и $BC \subset (MCB)$. Осталось доказать, что прямая $AD$ не лежит в плоскости $(MCB)$.

Допустим, что прямая $AD$ лежит в плоскости $(MCB)$, то есть $AD \subset (MCB)$. В этом случае точки $A$ и $D$ принадлежат плоскости $(MCB)$. Так как точки $B$ и $C$ также принадлежат этой плоскости по ее определению, то все четыре вершины параллелограмма $A$, $B$, $C$, $D$ лежат в плоскости $(MCB)$. Это означает, что плоскость параллелограмма $(ABCD)$ совпадает с плоскостью $(MCB)$.

Однако по условию задачи точка $M$ не принадлежит плоскости параллелограмма $ABCD$ ($M \notin (ABCD)$), но по определению принадлежит плоскости $(MCB)$ ($M \in (MCB)$). Это является противоречием. Следовательно, наше допущение неверно, и прямая $AD$ не лежит в плоскости $(MCB)$ ($AD \not\subset (MCB)$).

Таким образом, выполнены все условия признака параллельности прямой и плоскости: прямая $AD$ не лежит в плоскости $(MCB)$ и параллельна прямой $BC$, которая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $AD$ параллельна плоскости $MCB$.

Ответ: Доказано, что прямая $AD$ параллельна плоскости $MCB$.