Страница 33 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Основные понятия стереометрии.

Аксиомы стереометрии

1. Изобразите: плоскость $\beta$ и прямую $a$, лежащую в этой плоскости; точку $C$, не принадлежащую плоскости $\beta$; прямую $b$, пересекающую плоскость $\beta$ в точке $K$, принадлежащей прямой $a$. Запишите с помощью соответствующих символов утверждение:

1) прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$;

2) точка $C$ не принадлежит плоскости $\beta$;

3) точка $K$ принадлежит плоскости $\beta$;

4) прямая $b$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $K$.

Для решения задачи сначала выполним построение, отвечающее всем условиям.

На рисунке изображена плоскость $β$, прямая $a$, лежащая в этой плоскости, и точка $C$, не принадлежащая плоскости $β$. Прямая $b$ пересекает плоскость $β$ в точке $K$, которая, в свою очередь, лежит на прямой $a$. Часть прямой $b$, находящаяся "под" плоскостью, изображена пунктиром.

Теперь запишем требуемые утверждения с помощью соответствующих математических символов.

1) прямая a лежит в плоскости β;

Тот факт, что прямая $a$ целиком находится в плоскости $β$, записывается с помощью знака включения множества ($ \subset $). Это означает, что каждая точка прямой $a$ является также точкой плоскости $β$.
Ответ: $a \subset \beta$

2) точка C не принадлежит плоскости β;

Для обозначения того, что точка (элемент) не принадлежит плоскости (множеству), используется знак непринадлежности ($ \notin $).
Ответ: $C \notin \beta$

3) точка K принадлежит плоскости β;

Точка $K$ принадлежит плоскости $β$, так как она является точкой пересечения прямой $b$ с этой плоскостью. Для обозначения принадлежности используется знак ($ \in $).
Ответ: $K \in \beta$

4) прямая b пересекает плоскость β в точке K.

Это означает, что общей точкой для прямой $b$ и плоскости $β$ является только точка $K$. В терминах теории множеств, пересечение прямой $b$ и плоскости $β$ есть множество, состоящее из одной точки $K$. Это записывается с помощью знака пересечения ($ \cap $).
Ответ: $b \cap \beta = K$

2. Сколько плоскостей можно провести через точки $M$, $N$ и $K$, если:

1) $MN = 17$ см, $NK = 14$ см, $MK = 31$ см;

2) $MN = 19$ см, $NK = 12$ см, $MK = 15$ см?

Количество плоскостей, которые можно провести через три точки, зависит от их взаимного расположения. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), то через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Для определения взаимного расположения точек M, N и K необходимо проверить, выполняется ли для них неравенство треугольника. Точки лежат на одной прямой, если длина наибольшего отрезка равна сумме длин двух других отрезков.

1) $MN = 17$ см, $NK = 14$ см, $MK = 31$ см;

Проверим, лежат ли точки на одной прямой. Для этого сравним сумму длин двух отрезков с длиной третьего. В данном случае, самый длинный отрезок — $MK$.
Найдем сумму длин двух других отрезков: $MN + NK = 17 + 14 = 31$ см.
Так как $MN + NK = MK$ ($31 \text{ см} = 31 \text{ см}$), точки M, N и K лежат на одной прямой. Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.
Ответ: бесконечно много.

2) $MN = 19$ см, $NK = 12$ см, $MK = 15$ см?

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника, чтобы определить, лежат ли точки на одной прямой.
$MN + NK = 19 + 12 = 31 > 15$ ($MK$)
$NK + MK = 12 + 15 = 27 > 19$ ($MN$)
$MN + MK = 19 + 15 = 34 > 12$ ($NK$)
Сумма длин любых двух отрезков больше длины третьего, следовательно, точки M, N и K не лежат на одной прямой, а образуют треугольник.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость.
Ответ: одну.

3. Квадрат $ABCD$ и треугольник $CDM$ не лежат в одной плоскости (рис. 33). На отрезке $CM$ отметили точку $E$, а на отрезке $DM$ — точку $F$ так, что $ME : EC = DF : FM = 2 : 3$. Постройте:

1) линию пересечения плоскостей BEF и CDM;

По определению, линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которая содержит все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим плоскости BEF и CDM.

1. Точка E по условию лежит на отрезке CM. Отрезок CM, в свою очередь, лежит в плоскости CDM. Следовательно, точка E принадлежит плоскости CDM. Также, по определению плоскости BEF, точка E принадлежит этой плоскости. Таким образом, E — общая точка для обеих плоскостей.

2. Аналогично, точка F по условию лежит на отрезке DM. Отрезок DM лежит в плоскости CDM. Следовательно, точка F принадлежит плоскости CDM. Точка F также принадлежит плоскости BEF. Таким образом, F — вторая общая точка для обеих плоскостей.

Поскольку две точки однозначно определяют прямую, то прямая, проходящая через точки E и F (прямая EF), является линией пересечения плоскостей BEF и CDM.

Построение: Соединить точки E и F. Прямая, содержащая отрезок EF, и есть искомая линия пересечения.

Ответ: Прямая EF.

2) точку пересечения прямой EF с плоскостью ABC.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, можно воспользоваться следующим методом: 1. Выбрать вспомогательную плоскость, проходящую через данную прямую (EF). 2. Найти линию пересечения этой вспомогательной плоскости с данной плоскостью (ABC). 3. Точка пересечения исходной прямой (EF) и найденной линии пересечения и будет искомой точкой.

1. В качестве вспомогательной плоскости, содержащей прямую EF, выберем плоскость CDM, так как точки E и F лежат в этой плоскости.

2. Найдем линию пересечения плоскостей CDM и ABC. Плоскость ABC — это плоскость квадрата ABCD. Точки C и D являются общими для обеих плоскостей. Следовательно, прямая CD является линией их пересечения.

3. Искомая точка пересечения прямой EF с плоскостью ABC лежит на прямой CD. Значит, это точка пересечения прямых EF и CD.

Докажем, что прямые EF и CD пересекаются. Обе прямые лежат в одной плоскости (CDM). Они пересекутся в том и только в том случае, если они не параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), прямая EF была бы параллельна CD, если бы выполнялось равенство $ \frac{ME}{EC} = \frac{MF}{FD} $.

По условию задачи даны соотношения: $ \frac{ME}{EC} = \frac{2}{3} $
$ \frac{DF}{FM} = \frac{2}{3} $, из чего следует, что $ \frac{MF}{FD} = \frac{3}{2} $.

Сравнивая отношения, получаем: $ \frac{ME}{EC} = \frac{2}{3} $, а $ \frac{MF}{FD} = \frac{3}{2} $.
Так как $ \frac{2}{3} \neq \frac{3}{2} $, прямые EF и CD не параллельны.

Поскольку прямые EF и CD лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку P. Точка P принадлежит прямой EF и прямой CD. Так как прямая CD лежит в плоскости ABC, то точка P также лежит в плоскости ABC. Следовательно, P — искомая точка пересечения.

Построение: В плоскости CDM продлить отрезки EF и CD до их пересечения. Точка, в которой эти прямые пересекутся, и будет искомой.

Ответ: Точка пересечения прямых EF и CD.

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. В плоскостях $\alpha$ и $\beta$ проведены соответственно прямые $m$ и $n$, которые пересекаются. Докажите, что точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $a$.

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $m$ и $n$. По определению точки пересечения, точка $P$ принадлежит как прямой $m$, так и прямой $n$. Это можно записать как $P \in m$ и $P \in n$.

По условию задачи, прямая $m$ проведена в плоскости $\alpha$, то есть $m \subset \alpha$. Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $m$, из этого следует, что точка $P$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$).

Аналогично, по условию, прямая $n$ проведена в плоскости $\beta$, то есть $n \subset \beta$. Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $n$, из этого следует, что точка $P$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($P \in \beta$).

Таким образом, мы установили, что точка $P$ принадлежит одновременно обеим плоскостям: $P \in \alpha$ и $P \in \beta$. Это означает, что $P$ является общей точкой плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Из условия известно, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. По определению, линия пересечения двух плоскостей — это множество всех их общих точек. Следовательно, любая общая точка плоскостей $\alpha$ и $\beta$ должна лежать на прямой $a$.

Поскольку $P$ является общей точкой этих плоскостей, она должна принадлежать их линии пересечения, то есть прямой $a$. Таким образом, $P \in a$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $a$.

5. Вершина $D$ четырёхугольника $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$, а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения стороны $BC$ и диагонали $AC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что точки $D$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Поскольку $ABCD$ — четырехугольник, все его вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\beta$.

Рассмотрим плоскость $\beta$ (плоскость четырехугольника) и данную по условию плоскость $\alpha$.

По условию, вершина $D$ принадлежит плоскости $\alpha$. Также, как вершина четырехугольника, $D$ принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $D$ лежит на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Точка $M$ по условию является точкой пересечения прямой $BC$ с плоскостью $\alpha$, поэтому $M \in \alpha$. Так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $BC$ лежит в этой плоскости. Значит, точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $M$ лежит на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Аналогично, точка $N$ по условию является точкой пересечения прямой $AC$ с плоскостью $\alpha$, поэтому $N \in \alpha$. Так как точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Значит, точка $N$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $N$ лежит на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Таким образом, все три точки $D$, $M$ и $N$ принадлежат линии пересечения двух различных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (плоскости различны, так как $A, B, C \in \beta$, но $A, B, C \notin \alpha$). Согласно аксиоме стереометрии, линия пересечения двух плоскостей — это прямая. Следовательно, точки $D$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $D, M$ и $N$ лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскости четырехугольника $ABCD$ и плоскости $\alpha$.