Номер 5, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Вершина $D$ четырёхугольника $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$, а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения стороны $BC$ и диагонали $AC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что точки $D$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Поскольку $ABCD$ — четырехугольник, все его вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\beta$.

Рассмотрим плоскость $\beta$ (плоскость четырехугольника) и данную по условию плоскость $\alpha$.

По условию, вершина $D$ принадлежит плоскости $\alpha$. Также, как вершина четырехугольника, $D$ принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $D$ лежит на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Точка $M$ по условию является точкой пересечения прямой $BC$ с плоскостью $\alpha$, поэтому $M \in \alpha$. Так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $BC$ лежит в этой плоскости. Значит, точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $M$ лежит на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Аналогично, точка $N$ по условию является точкой пересечения прямой $AC$ с плоскостью $\alpha$, поэтому $N \in \alpha$. Так как точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Значит, точка $N$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $N$ лежит на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Таким образом, все три точки $D$, $M$ и $N$ принадлежат линии пересечения двух различных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (плоскости различны, так как $A, B, C \in \beta$, но $A, B, C \notin \alpha$). Согласно аксиоме стереометрии, линия пересечения двух плоскостей — это прямая. Следовательно, точки $D$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $D, M$ и $N$ лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскости четырехугольника $ABCD$ и плоскости $\alpha$.